0436-1985 东大工 数学 WEB

常微分方程 积分方程 特征值问题 Mercer定理

$c$を定数、$y(t)$をつぎの関係を満たす関数とする。

$${\int }_0^{1}R(t,s)y(s)\text{d}s=cy(t)(0\le t\le 1)$$
$$R(t,s)=\min (t,s)=\{\begin{array}{ll}t& :0\le t\le s\le 1\\ s& :0\le s\le t\le 1\end{array}$$
これについて、次の問に答えよ。

(1) $y(t)$のみたす微分方程式および境界条件を導け。さらに、その解からつぎの正規直交系が得られることを示せ。

$$y_n(t)=\sqrt{2}\sin \frac{t}{\sqrt{c_n}},c_n=\frac{1}{{\left\{(n+\frac{1}{2})\pi \right\}}^2}(n=0,1,2,\dots )$$

(2) 上の$y_n(t)$を用いて、つぎの関係が成り立つことを示せ。

$$\underset{N\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{\int }_0^1{\left\{R(t,s)-\sum _{n=0}^N{c}_n{y}_n(t)y_n(s)\right\}}^2\text{d}s\text{d}t=0$$
（ヒント）つぎの関係が成り立つ。
$$\frac{{\pi }^4}{90}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}$$

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解答：

(1)
与式より、

$$cy(t)={\int }_0^{t}sy(s)\text{d}s+{\int }_t^{1}ty(s)\text{d}s$$
両辺を$t$で微分すると、
$$c{y}^{\prime }(t)=ty(t)+{\int }_t^{1}y(s)\text{d}s-ty(t)={\int }_t^{1}y(s)\text{d}s$$
さらに$t$で微分すると、
$$c{y}^{\prime \prime }(t)=-y(t)⟹c{y}^{\prime \prime }(t)+y(t)=0$$
境界条件について、$t=0$のとき、
$$cy(0)={\int }_0^{0}sy(s)\text{d}s+{\int }_0^{1}0\cdot y(s)\text{d}s=0⟹y(0)=0$$
$t=1$のとき、
$$c{y}^{\prime }(1)={\int }_1^{1}y(s)\text{d}s=0⟹y^{\prime }(1)=0$$
ゆえに、微分方程式と境界条件は、
$$\boxed{\begin{array}{rl}& c{y}^{\prime \prime }(t)+y(t)=0\\ & y(0)=0,y^{\prime }(1)=0\end{array}}$$
$y(t)$が非自明な解をもつため$c>0$とし、$c=1/{\omega }^2$ ($\omega >0$)とおく。一般解は、
$$y(t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t$$
$y(0)=0$より$B=0$。$y^{\prime }(1)=0$より$A\omega \cos \omega =0$。$A\ne 0$より、
$$\omega =\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi (n=0,1,2,\dots )$$
したがって、$c_n=1/{\omega }^2$より、
$$c_n=\frac{1}{{\left\{(n+\frac{1}{2})\pi \right\}}^2}$$
固有関数は$y_n(t)=A_n\sin \frac{t}{\sqrt{c_n}}$となる。正規化条件${\int }_0^1{y}_n(t{)}^2\text{d}t=1$より、
$${\int }_0^1{A}_n^2{\sin }^2\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi t\right)\text{d}t=A_n^2{\int }_0^1\frac{1-\cos ((2n+1)\pi t)}{2}\text{d}t=\frac{A_n^2}{2}=1⟹A_n=\sqrt{2}$$
また、$m\ne n$に対して直交性${\int }_0^1{y}_m(t)y_n(t)\text{d}t=0$が成り立つため、つぎの正規直交系が得られる。
$$y_n(t)=\sqrt{2}\sin \frac{t}{\sqrt{c_n}}(証明終)$$

(2)
示すべき式の左辺の積分を展開すると、

$$\begin{array}{rl}& +{\int }_0^1{\int }_0^{1}R(t,s{)}^2\text{d}s\text{d}t\\ & -2\sum _{n=0}^N{c}_n{\int }_0^1{\int }_0^{1}R(t,s)y_n(t)y_n(s)\text{d}s\text{d}t\\ & +{\int }_0^1{\int }_0^1{\left(\sum _{n=0}^N{c}_n{y}_n(t)y_n(s)\right)}^2\text{d}s\text{d}t\end{array}$$

第2項の積分について、与えられた積分方程式の関係を用いると、

$${\int }_0^1{y}_n(t)\left({\int }_0^{1}R(t,s)y_n(s)\text{d}s\right)\text{d}t={\int }_0^1{y}_n(t)c_n{y}_n(t)\text{d}t=c_n$$
第3項の積分について、正規直交性を用いると、
$$\sum _{m=0}^N\sum _{n=0}^N{c}_m{c}_n\left({\int }_0^1{y}_m(t)y_n(t)\text{d}t\right)\left({\int }_0^1{y}_m(s)y_n(s)\text{d}s\right)=\sum _{n=0}^N{c}_n^2$$
よって、左辺の極限は、
$$\underset{N\to \infty }{\lim }\left\{{\int }_0^1{\int }_0^{1}R(t,s{)}^2\text{d}s\text{d}t-\sum _{n=0}^N{c}_n^2\right\}$$
ここで、対称性より、
$${\int }_0^1{\int }_0^{1}R(t,s{)}^2\text{d}s\text{d}t=2{\int }_0^1\text{d}t{\int }_0^t{s}^2\text{d}s=2{\int }_0^1\frac{t^3}{3}\text{d}t=\frac{1}{6}$$
一方、
$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n^2=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{\left(n+\frac{1}{2}\right)}^4{\pi }^4}=\frac{16}{{\pi }^4}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1{)}^4}$$
ヒントより$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$であるから、奇数項の和は、
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1{)}^4}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^4}-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(2m{)}^4}=\left(1-\frac{1}{16}\right)\frac{{\pi }^4}{90}=\frac{{\pi }^4}{96}$$
したがって、
$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n^2=\frac{16}{{\pi }^4}\frac{{\pi }^4}{96}=\frac{1}{6}$$
両者が一致するため、与式の極限は$0$となる。(証明終)

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本题考察了积分方程与常微分方程之间的相互转换，以及施图姆-刘维尔理论在积分算子谱分解中的实际应用。第一问通过利用变上限积分的求导定理，将含有分段最小值的积分核平滑地转化为二阶线性常微分方程，并通过代入积分区间端点值自然地提取出两端的边界条件。求解该边界值问题即可得到积分算子的特征值与特征函数，经归一化后即可构成函数空间的一组正交基。第二问本质上是在验证对称正定积分核的默瑟定理，通过将误差的平方在区域上展开，利用特征函数的积分方程定义和自身的正交性质，将复杂的二重积分误差极限定价为核函数平方在区域上的二重积分与特征值平方级数之差。利用区域对称性能够轻易计算出二重积分的结果，并借助巴塞尔问题的四次方形式通过简单的奇偶项分离求出无穷级数和，最终证明两者相等从而使得平方误差的极限为零。