0435-1985 东大工 数学 WEB

复变函数 复数三角函数 复数最值 复平面映射

(1) 複素数 $z=x+iy$ ($x,y$ は実数、$i=\sqrt{-1}$) について、$|\sin z|$ を $x,y$ で表せ。

(2) $|\sin z|\le 1$ を満たす領域の概形を複素平面上に図示せよ。

(3) 複素数 $z$ が $|\sin z|\le 1$ を満たすとき、$|z^2-5iz-6|$ の最小値を求めよ。

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解答：

(1)
加法定理と双曲関数の定義 ($\cos (iy)=\cosh y$, $\sin (iy)=i\sinh y$) より、

$$\sin z=\sin (x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$$
実部と虚部に分けて絶対値の2乗を計算すると、
$$|\sin z{|}^2=(\sin x\cosh y{)}^2+(\cos x\sinh y{)}^2={\sin }^{2}x{\cosh }^{2}y+{\cos }^{2}x{\sinh }^{2}y$$
双曲関数の性質 ${\cosh }^{2}y-{\sinh }^{2}y=1$ を用いると、

$$\begin{array}{rl}|\sin z{|}^2& ={\sin }^{2}x(1+{\sinh }^{2}y)+{\cos }^{2}x{\sinh }^{2}y\\ & ={\sin }^{2}x+({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x){\sinh }^{2}y={\sin }^{2}x+{\sinh }^{2}y\end{array}$$

よって、

$$\boxed{|\sin z|=\sqrt{{\sin }^{2}x+{\sinh }^{2}y}}$$

(2)
(1)の結果より、$|\sin z|\le 1$ は次と同値である。

$${\sin }^{2}x+{\sinh }^{2}y\le 1$$
$${\sinh }^{2}y\le 1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$$
$$|\sinh y|\le |\cos x|$$
$\sinh y$ は単調増加関数であるため、これらを満たす $y$ の範囲は
$$-\text{arsinh}(|\cos x|)\le y\le \text{arsinh}(|\cos x|)$$
$$-\log (|\cos x|+\sqrt{{\cos }^{2}x+1})\le y\le \log (|\cos x|+\sqrt{{\cos }^{2}x+1})$$
（※テキスト出力のため、以下に領域の幾何的特徴を記述する）
$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{領域：}-\log (|\cos x|+\sqrt{{\cos }^{2}x+1})\le y\le \log (|\cos x|+\sqrt{{\cos }^{2}x+1})\\ & \text{形状の特徴：}\\ & \cdot x\text{ 軸方向に周期 }\pi \text{ を持つ連なった領域。}\\ & \cdot x=n\pi (n\text{ は整数})\text{ のとき、}y\text{ 方向に最大幅 }\pm \log (1+\sqrt{2})\text{ をとる。}\\ & \cdot x=\frac{\pi }{2}+n\pi \text{ のとき、}y=0\text{ となり1点でくびれる。}\end{array}}$$

(3)
与式を因数分解すると、

$$|z^2-5iz-6|=|(z-2i)(z-3i)|=|z-2i||z-3i|$$
$z=x+iy$ とおくと、各因数の絶対値の2乗は
$$|z-2i{|}^2=x^2+(y-2{)}^2$$
$$|z-3i{|}^2=x^2+(y-3{)}^2$$
(2)の領域において、$y$ の最大値は $y_0=\log (1+\sqrt{2})$ である。
ここで、$2<e⟹1+\sqrt{2}<e$ であるから、$y_0<\log e=1<2$ である。
したがって、$y\le y_0<2$ の範囲において、関数 $(y-2{)}^2$ および $(y-3{)}^2$ は $y$ について単調減少である。
また、$x^2\ge 0$ であるから、領域内の任意の $z$ に対して次が成り立つ。
$$|z-2i{|}^2=x^2+(y-2{)}^2\ge 0+(y_0-2{)}^2=(2-y_0{)}^2$$
$$|z-3i{|}^2=x^2+(y-3{)}^2\ge 0+(y_0-3{)}^2=(3-y_0{)}^2$$
両辺の平方根をとり掛け合わせると、
$$|z-2i||z-3i|\ge (2-y_0)(3-y_0)$$
等号成立条件は $x=0$ かつ $y=y_0=\log (1+\sqrt{2})$ のときであり、点 $z=i\log (1+\sqrt{2})$ は条件 $|\sin z|\le 1$ を満たす。
よって、求める最小値は、
$$\boxed{\{2-\log (1+\sqrt{2})\}\{3-\log (1+\sqrt{2})\}}$$

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本题是一道复变函数与最优化结合的综合题。第一问考察复数域上三角函数的展开，利用加法定理和双曲函数可以将其转化为实部和虚部的函数，进而求出模长的平方，这一步是复数分析的基础。第二问要求求解并描述不等式区域，实际上考察了实变量三角函数与双曲函数的有界性，区域边界在实轴方向呈周期性变化，且在原点及其周期平移点处取得虚部极值。第三问是复平面上的极值问题，将多项式因式分解后，问题等价于求复平面上动点到两个定点 $2i$ 和 $3i$ 的距离乘积的最小值。由于给定区域严格在两定点的下方（区域虚部最大值小于2），且区域的最高点正好位于纵轴上，因此当动点的横坐标为0、纵坐标取到区域边界最大值时，两个距离项可以同时达到最小。这巧妙地将二元函数的最值问题解耦，转化为一元边界最值问题。