0433-1985 东大工 数学 WEB

线性代数 特征值与特征向量 行列式 逆矩阵

$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ が

$$a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& (i=j)\\ a& (i\ne j)\end{array}$$
で与えられるものとする。ただし、$0<a<1$ とする。
次の問に答えよ。

(1) $A$ の行列式を求めよ。

(2) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}=\{{\tilde{a}}_{ij}\}$ が

$${\tilde{a}}_{ij}=\{\begin{array}{ll}(1-a{)}^{n-2}\{1+(n-2)a\}& (i=j)\\ -(1-a{)}^{n-2}a& (i\ne j)\end{array}$$
となることを導いて、$A$ の逆行列を求めよ。

(3) 行列 $A$ のすべての固有値と固有ベクトルを求めよ。

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解答：

(1)

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1& a& \dots & a\\ a& 1& \dots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \dots & 1\end{array}\right|$$
第2列から第$n$列までを第1列に加える。
$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1+(n-1)a& a& \dots & a\\ 1+(n-1)a& 1& \dots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1+(n-1)a& a& \dots & 1\end{array}\right|$$
第1列から共通因数を括り出し、その後、第2行以降から第1行を引く。
$$|A|=\{1+(n-1)a\}\left|\begin{array}{cccc}1& a& \dots & a\\ 1& 1& \dots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& a& \dots & 1\end{array}\right|$$
$$|A|=\{1+(n-1)a\}\left|\begin{array}{cccc}1& a& \dots & a\\ 0& 1-a& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1-a\end{array}\right|$$
$$\boxed{|A|=\{1+(n-1)a\}(1-a{)}^{n-1}}$$

(2)
$i=j$ のとき、余因子 ${\tilde{a}}_{ii}$ はサイズ $n-1$ の同様の行列の行列式である。(1)の結果を用いて、

$${\tilde{a}}_{ii}=(-1{)}^{i+i}\{1+((n-1)-1)a\}(1-a{)}^{(n-1)-1}=(1-a{)}^{n-2}\{1+(n-2)a\}$$
$i\ne j$ のとき、対称性より ${\tilde{a}}_{12}$ を求める。
$${\tilde{a}}_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cccc}a& a& \dots & a\\ a& 1& \dots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \dots & 1\end{array}\right|(\text{サイズ }n-1)$$
第1列を第2列以降から引く。
$${\tilde{a}}_{12}=-\left|\begin{array}{cccc}a& 0& \dots & 0\\ a& 1-a& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& 0& \dots & 1-a\end{array}\right|=-a(1-a{)}^{n-2}$$
一般の $i\ne j$ についても同様に ${\tilde{a}}_{ij}=-a(1-a{)}^{n-2}$ となる。(証明終)

逆行列 $A^{-1}$ の成分を $b_{ij}$ とすると、$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{\tilde{A}}^T$ であり、$\tilde{A}$ は対称行列であるから、

$$b_{ij}=\frac{{\tilde{a}}_{ij}}{|A|}$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}{A}^{-1}& =(b_{ij})\\ b_{ij}& =\{\begin{array}{ll}\frac{1+(n-2)a}{(1-a)\{1+(n-1)a\}}& (i=j)\\ -\frac{a}{(1-a)\{1+(n-1)a\}}& (i\ne j)\end{array}\end{array}}$$

(3)
固有値方程式 $|A-\lambda I|=0$ について、(1)と同様の変形を行うと、

$$|A-\lambda I|=\{1-\lambda +(n-1)a\}(1-\lambda -a{)}^{n-1}=0$$
$$\boxed{\lambda =1+(n-1)a,1-a}$$
$\lambda =1+(n-1)a$ のとき、$(A-\{1+(n-1)a\}I)\mathbf{x}=0$ より、
$$\left(\begin{array}{cccc}-(n-1)a& a& \dots & a\\ a& -(n-1)a& \dots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \dots & -(n-1)a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$
各行より $\sum _{k=1}^n{x}_k-n{x}_i=0$ ($i=1,\dots ,n$) を得る。これより $x_1=x_2=\cdots =x_n$。
$$\boxed{\text{固有ベクトル: }\mathbf{x}=c\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)(c\ne 0)}$$
$\lambda =1-a$ のとき、$(A-(1-a)I)\mathbf{x}=0$ より、
$$\left(\begin{array}{cccc}a& a& \dots & a\\ a& a& \dots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \dots & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$
これより $x_1+x_2+\cdots +x_n=0$。
$$\boxed{\text{固有ベクトル: }\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\ne 0\left(ただし\sum _{k=1}^n{x}_k=0\right)}$$

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这是一道经典的线性代数综合题，核心考察了特殊结构矩阵（即对角线元素相同，非对角线元素也相同的矩阵，常被称为秩一矩阵加数量矩阵的变形）的行列式计算、伴随矩阵的推导、逆矩阵求解以及特征值与特征向量的分析。第一问通过矩阵初等列变换将所有列加到第一列从而提取公因式，再通过行变换化为上三角矩阵，是计算此类行列式的标准技巧。第二问要求利用代数余子式的定义进行推导，对角线上的代数余子式相当于原矩阵降阶后的行列式，可以直接套用第一问的结论，而非对角线上的代数余子式可以通过类似的初等变换求出，最后利用伴随矩阵和行列式的值即可写出逆矩阵的表达式。第三问在求解特征值时可以直接套用第一问的行列式计算结论，只需将对角线上的1替换为1减去特征值即可求出所有根。在求解特征向量时，对于单根特征值，直接解齐次线性方程组即可得到全一向量，而对于重根，其特征向量空间为满足向量各元素之和为零的所有非零向量构成的超平面。