0432-1985 东大工 数学 WEB

微分积分 极值 星形线 旋转体体积 最优化

(1) 次の関係で結ばれた実変数 $x,y,z$ がある。

$$K=\frac{z}{(x-mz{)}^m(y-nz{)}^n}(K,m,n\text{ は正の定数})$$
いま、$x+y=c$ ($c$ は正の定数) の条件のもとで変化させる。$z$ が極値をもつときの $x$ および $y$ を求めよ。

(2) 方程式 ${\left(\frac{|x|}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{|y|}{b}\right)}^{\frac{2}{3}}=1$ ($a,b$ は正の定数) の表す曲線がある。いま、この曲線の接線と $x,y$ 両座標軸との交点をそれぞれ $\text{A, B}$ とする。線分 $\text{AB}$ を $y$ 軸に関して回転することにより得られる円錐の最大体積を求めよ。

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解答：

(1)
与式に対して対数微分を行うと、

$$\frac{dz}{z}=m\frac{dx-mdz}{x-mz}+n\frac{dy-ndz}{y-nz}$$
条件 $x+y=c$ より、
$$dy=-dx$$
$z$ が極値をもつ条件より $dz=0$ であるから、これを代入して、
$$0=m\frac{dx}{x-mz}-n\frac{dx}{y-nz}$$
$$\left(\frac{m}{x-mz}-\frac{n}{y-nz}\right)dx=0$$
$dx\ne 0$ より、
$$\frac{m}{x-mz}=\frac{n}{y-nz}$$
$$m(y-nz)=n(x-mz)$$
$$my=nx$$
$y=c-x$ を代入して、
$$m(c-x)=nx$$
$$(m+n)x=mc$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}x& =\frac{mc}{m+n}\\ y& =\frac{nc}{m+n}\end{array}}$$

(2)
対称性より、第1象限 ($x>0,y>0$) について考える。曲線を媒介変数 $\theta$ を用いて表すと、

$$x=a{\cos }^3\theta ,y=b{\sin }^3\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$$
接線の傾きは、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta }}{\frac{dx}{d\theta }}=\frac{3b{\sin }^2\theta \cos \theta }{-3a{\cos }^2\theta \sin \theta }=-\frac{b}{a}\tan \theta$$
接線の方程式は、
$$y-b{\sin }^3\theta =-\frac{b}{a}\tan \theta (x-a{\cos }^3\theta )$$
整理すると、
$$\frac{x}{a\cos \theta }+\frac{y}{b\sin \theta }=1$$
座標軸との交点は $\text{A}(a\cos \theta ,0),\text{B}(0,b\sin \theta )$ となる。
円錐の体積 $V$ は、
$$V(\theta )=\frac{1}{3}\pi \cdot {\text{OA}}^2\cdot \text{OB}=\frac{1}{3}\pi a^{2}b{\cos }^2\theta \sin \theta$$
$t=\sin \theta (0<t<1)$ とおくと、
$$V(t)=\frac{1}{3}\pi a^{2}b(1-t^2)t=\frac{1}{3}\pi a^{2}b(t-t^3)$$
$$\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi a^{2}b(1-3t^2)=0⟹t=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$0<t<1$ における増減を考えると、$t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $V$ は最大値をとる。
$$\boxed{V_{\max }=\frac{1}{3}\pi a^{2}b\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{27}\pi a^{2}b}$$

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本题是一道多元微积分与几何应用的综合题。第一问考察了约束条件下的极值问题，直接利用全微分为零的极值必要条件可以快速消去无关变量。对等式两边进行对数微分后，代入自变量约束的微分关系以及极值点处的因变量微分零值条件，即可直接得到关于坐标的代数关系式，巧妙地将复杂的偏导数计算转化为代数方程求解。第二问考察了推广的星形线的参数方程与旋转体体积的最优化计算。通过引入三角函数参数化该曲线，可以大幅度简化切线方程的推导难度并快速求出坐标轴上的截距。利用圆锥体积公式构建关于角度参数的目标函数后，通过一元函数的导数即可顺利求解其最大值，由于图形具有完美的对称性，仅考虑第一象限即可涵盖所有情况。