XY平面に、 を 4 頂点とする正方閉領域 S が与えられている。（但し、 は正整数）
また、A, B, C の目が等確率 で出現する電子サイコロがある。これに関して次の問に答えよ。
(1) 電子サイコロを 回ふって、目 A, B, C それぞれが少なくとも 1 回以上出る事象 の発生確率 を求めよ。
(2) XY 平面の原点からはじめて、点を移動させる。各移動に際し、 回サイコロをふり、(1) の事象 が起こったとき、X 軸方向に +1, それ以外の場合 Y 軸方向に +1 進む。このとき、点が領域 S を通過、又は S に接触する確率を求めよ。
(3) 移動点が、領域 S 内に最も長くとどまる状況の発生確率を最大にする を求めよ。
解答：
(1)
事象 の余事象 は、「A, B, C のうち少なくとも 1 つの目が出ない」事象である。
Aが出ない事象を 、Bが出ない事象を 、Cが出ない事象を とすると、包除原理より、
各事象の確率は以下の通りである。
これらを代入すると、
よって、求める確率 は、
(2)
計算の便宜上、 とおく。
移動点は 1 ステップごとに X 方向または Y 方向に +1 進むため、座標は単調非減少である。点が領域 S （）を通過または接触するためには、S の「下側の境界」または「左側の境界」のいずれかの点から初めて S に入る必要がある。
① 下側の境界上の点 から初めて S に入る場合：
点は まで移動し、次に Y 方向に +1 進む必要がある。この確率は、
② 左側の境界上の点 から初めて S に入る場合：
点は まで移動し、次に X 方向に +1 進む必要がある。ここで の場合は点 から へ入るルートを意味し、①の点 から入るルートとは完全に排反である。この確率は、
①と②は互いに排反にすべての「S への初回到達ルート」を網羅しているため、求める確率はこれらの和となる。
(3)
領域 S 内に最も長くとどまるのは、S 内で最大のステップ数を経る場合である。X, Y ともに単調増加するため、S 内での最大滞在ステップ数は である。
これが達成されるのは、移動点が に到達し、その後 S 内を通って対角の に到達する場合に限られる。
この事象の発生確率 は、
この確率を最大化する を見つけるため、 とおく。 について微分すると、
とすると、 を得る。 はこの で最大値をとる。
は において単調増加する関数であり、 は整数という制約があるため、確率が最大となるのは の値がこの理想的な の値に最も近い挙動をとる整数 を選んだときである。
したがって、求める は以下を満たす正整数である。
这道题目考查了概率论中的经典模型：容斥原理与二维随机游走。
第一问是简单的多项分布求边缘概率问题。题目要求 A、B、C 三个面至少都出现一次。使用容斥原理求解其对立事件也就是至少有一个面未出现是最便捷的方法。通过计算缺少一个面、缺少两个面的概率进行交并补运算，即可得到单次试验中发生目标事件的概率。
第二问属于二维格点上的随机游走问题（通常称为帕斯卡网格模型）。因为每次移动只能向右或者向上，这意味着坐标 X 和 Y 都是非递减的。一个点要经过或者接触到目标正方形区域，意味着它的运动轨迹必须与该区域的下边界或者左边界相交。通过分别计算首次抵达下边界各个点和左边界各个点的概率并求和，就能得到整体接触区域的概率。值得注意的是，点 作为左下角的角点，其进入方式自然地分解为从下方进入和从左方进入两种情况，刚好对应求和式的端点项，两者互不相交，不会产生重复计算，这也是负二项分布在首达时间应用中的巧妙之处。
第三问在第二问的基础上，要求寻找到达局部最长路径的概率最大化条件。在给定的正方区域中，因为每步必须移动，最长的停留轨迹必定是对角线贯穿，即从 进入，从 离开。其概率是两段独立随机游走概率的乘积。把问题转化为关于单步成功率的函数求极值，利用导数求出连续最优解。由于投掷次数是正整数，且方程无法通过初等代数严格反解出整数的显式表达，因此实际的取值应当是用最大化目标函数的形式来定义这个使得结果最接近最优解析解的整数。