0430-1984 东大工 数学 WEB

傅里叶与拉普拉斯变换 微分积分 无穷级数

(1) $-\pi \le x\le \pi$ で定義される関数 $f(x)=\frac{x}{2}$ をフーリエ級数に展開せよ。

(2) (1) の結果を利用して $\frac{1}{4}(x^2-a^2)$ のフーリエ級数表示を求めよ。ただし $a$ は任意の定数である。

(3) $x(x^2-{\pi }^2)=12\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{\sin (nx)}{n^3}$ を証明せよ。

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解答：

(1)
$f(x)=\frac{x}{2}$ は奇関数であるため、フーリエ係数のうち $a_n=0(n=0,1,2,\dots )$ となる。
$b_n$ は次のように計算される。

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{x}{2}\sin (nx)\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{x}{2}\sin (nx)\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin (nx)\mathrm{d}x$$

部分積分を用いると、

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }x\sin (nx)\mathrm{d}x& ={\left[-x\frac{\cos (nx)}{n}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }1\cdot \left(-\frac{\cos (nx)}{n}\right)\mathrm{d}x\\ & =-\frac{\pi \cos (n\pi )}{n}+{\left[\frac{\sin (nx)}{n^2}\right]}_0^{\pi }\\ & =-\frac{\pi (-1{)}^n}{n}=\frac{\pi (-1{)}^{n+1}}{n}\end{array}$$

よって、$b_n=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ である。ゆえに、求めるフーリエ級数展開は以下の通りである。

$$\boxed{f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx)}$$

(2)
(1) の結果より、以下の等式が成り立つ。

$$\frac{x}{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx)$$

両辺を $x$ について積分すると、項別積分により次式を得る。

$$\frac{x^2}{4}=C+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\left(-\frac{\cos (nx)}{n}\right)=C+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos (nx)$$

ここで積分定数 $C$ は $\frac{x^2}{4}$ のフーリエ級数の定数項（$\frac{a_0}{2}$）に等しい。

$$C=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{x^2}{4}\mathrm{d}x=\frac{1}{4\pi }{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-\pi }^{\pi }=\frac{1}{4\pi }\cdot \frac{2{\pi }^3}{3}=\frac{{\pi }^2}{12}$$

したがって、

$$\frac{x^2}{4}=\frac{{\pi }^2}{12}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos (nx)$$

両辺から $\frac{a^2}{4}$ を引くことで、求めるフーリエ級数表示が得られる。

$$\boxed{\frac{1}{4}(x^2-a^2)=\frac{{\pi }^2-3a^2}{12}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos (nx)}$$

(3)
(2) の導出過程において得られた以下の関係式を用いる。

$$\frac{x^2}{4}-\frac{{\pi }^2}{12}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos (nx)$$

この式の両辺を区間 $[0,x]$ で定積分する。

$${\int }_0^x\left(\frac{t^2}{4}-\frac{{\pi }^2}{12}\right)\mathrm{d}t={\int }_0^x\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos (nt)\mathrm{d}t$$

左辺の積分を計算すると、

$${\left[\frac{t^3}{12}-\frac{{\pi }^{2}t}{12}\right]}_0^x=\frac{x^3-{\pi }^{2}x}{12}=\frac{x(x^2-{\pi }^2)}{12}$$

右辺について、項別積分を行うと、

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}{\left[\frac{\sin (nt)}{n}\right]}_0^x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^3}\sin (nx)$$

両辺を等置して両辺に $12$ を掛けると、目的の等式が得られる。

$$x(x^2-{\pi }^2)=12\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{\sin (nx)}{n^3}$$

(証明終)

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这道题考查了傅里叶级数展开及其通过积分求解相关函数级数表示的方法。第一问是基础的奇函数展开，由于积分区间对称且函数为奇函数，余弦项系数和常数项全为零，直接利用分部积分法计算正弦项系数即可。第二问要求利用前一问的结论，由于待求函数的导数恰好是前一问给出的函数，因此可以通过对已知级数两边进行逐项不定积分来快速求解，积分产生的不定常数项本质上就是新函数傅里叶级数的直流分量，通过计算新函数在一个周期内的平均积分值就可以确定该常数项，再减去常数项即可得到最终表达。第三问进一步利用了逐项定积分的性质，通过对含平方项的级数等式巧妙选取零到变量的积分上限再次进行积分运算，能够直接积分出带有三次方的目标函数形式，最后化简移项整理系数即可得到题目要求证明的无穷级数恒等式，这种处理方法展现了傅里叶级数在微积分运算中出色的解析特性。