0429-1984 东大工 数学 WEB

常微分方程 数值分析 变分法

$y\left(\frac{2}{3}\pi \right)=y\left(-\frac{2}{3}\pi \right)=0$ の境界条件のもとで
微分方程式 $y^{\prime \prime }+y=x$ の近似解を求め、厳密解と比較したい。

(1) 変分法におけるリッツ法を用いて近似解を求めよ。
ただし、基底関数として $x\left\{{\left(\frac{2}{3}\pi \right)}^2-x^2\right\}$ の一項近似と求めよ。
なお、与えられた微分方程式を解くことは、汎関数

$$J[y]={\int }_{-\frac{2}{3}\pi }^{\frac{2}{3}\pi }\{(y^{\prime }{)}^2-y^2+2xy\}\mathrm{d}x$$
を最小にすることと同等である。

(2) 区間 $-\frac{2}{3}\pi \le x\le \frac{2}{3}\pi$ を 4 等分して、差分法による近似解を求めよ。なお、$i$ 点の差分近似は次式で与えられるものとする。

$$y_i^{\prime }=\frac{y_i-y_{i-1}}{h}{y}_i^{\prime \prime }=\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}$$

(3) 微分方程式の厳密解を求め、$x=\frac{\pi }{3}$ において、(1) および (2) で得られた近似解と比較し、結果について考察せよ。

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解答：

(1)
$L=\frac{2}{3}\pi$ とおく。試行関数を $y(x)=cx(L^2-x^2)=c(L^{2}x-x^3)$ とおく。この関数は境界条件 $y(\pm L)=0$ を満たす。
導関数は $y^{\prime }(x)=c(L^2-3x^2)$ である。これを汎関数 $J[y]$ に代入する。

$$J(c)={\int }_{-L}^L\left[c^2(L^2-3x^2{)}^2-c^2(L^{2}x-x^3{)}^2+2xc(L^{2}x-x^3)\right]\mathrm{d}x$$
$J$ を最小化するため、$\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}c}=0$ を解く。
$$\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}c}=2c{\int }_{-L}^L(L^2-3x^2{)}^2\mathrm{d}x-2c{\int }_{-L}^L(L^{2}x-x^3{)}^2\mathrm{d}x+2{\int }_{-L}^{L}x(L^{2}x-x^3)\mathrm{d}x=0$$
それぞれの積分を計算する。
$${\int }_{-L}^L(L^2-3x^2{)}^2\mathrm{d}x=2{\int }_0^L(L^4-6L^2{x}^2+9x^4)\mathrm{d}x=2{\left[L^{4}x-2L^2{x}^3+\frac{9}{5}{x}^5\right]}_0^L=\frac{8}{5}{L}^5$$
$${\int }_{-L}^L(L^{2}x-x^3{)}^2\mathrm{d}x=2{\int }_0^L(L^4{x}^2-2L^2{x}^4+x^6)\mathrm{d}x=2{\left[\frac{1}{3}{L}^4{x}^3-\frac{2}{5}{L}^2{x}^5+\frac{1}{7}{x}^7\right]}_0^L=\frac{16}{105}{L}^7$$
$${\int }_{-L}^{L}x(L^{2}x-x^3)\mathrm{d}x=2{\int }_0^L(L^2{x}^2-x^4)\mathrm{d}x=2{\left[\frac{1}{3}{L}^2{x}^3-\frac{1}{5}{x}^5\right]}_0^L=\frac{4}{15}{L}^5$$
これらを $\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}c}=0$ の式に代入して $c$ について解く。
$$c\left(\frac{8}{5}{L}^5-\frac{16}{105}{L}^7\right)+\frac{4}{15}{L}^5=0$$
両辺を $L^5$ で割り、整理する。
$$c\left(\frac{8}{5}-\frac{16}{105}{L}^2\right)=-\frac{4}{15}⟹c\left(168-16L^2\right)=-28⟹c=\frac{-7}{42-4L^2}$$
$L^2=\frac{4}{9}{\pi }^2$ を代入する。
$$c=\frac{-7}{42-16{\pi }^2/9}=\frac{-63}{378-16{\pi }^2}$$
よって、近似解は以下の通りである。
$$\boxed{y(x)=\frac{-63}{378-16{\pi }^2}x\left(\frac{4}{9}{\pi }^2-x^2\right)}$$

(2)
区間 $\left[-\frac{2}{3}\pi ,\frac{2}{3}\pi \right]$ を 4 等分するため、ステップ幅 $h$ は $h=\frac{4\pi /3}{4}=\frac{\pi }{3}$ となる。
各ノードを $x_0=-\frac{2}{3}\pi ,x_1=-\frac{\pi }{3},x_2=0,x_3=\frac{\pi }{3},x_4=\frac{2}{3}\pi$ とし、対応する近似値を $y_i$ とする。境界条件より $y_0=y_4=0$ である。
微分方程式 $y_i^{\prime \prime }+y_i=x_i$ に差分近似を代入する。

$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}+y_i=x_i⟹y_{i-1}+(h^2-2)y_i+y_{i+1}=h^2{x}_i$$
$h^2=\frac{{\pi }^2}{9}$ であり、$i=1,2,3$ について方程式を立てる。方程式の対称性と $x_i$ が奇関数であることから、$y_2=0,y_1=-y_3$ と仮定できる。
$i=3$ ($x_3=\frac{\pi }{3}$) のとき：
$$y_2+\left(\frac{{\pi }^2}{9}-2\right)y_3+y_4=\frac{{\pi }^2}{9}\left(\frac{\pi }{3}\right)$$
$$0+\left(\frac{{\pi }^2-18}{9}\right)y_3+0=\frac{{\pi }^3}{27}$$
$$y_3=\frac{{\pi }^3/27}{({\pi }^2-18)/9}=\frac{{\pi }^3}{3{\pi }^2-54}$$
よって、各点での近似解は以下のようになる。
$$\boxed{\begin{array}{rl}& y_1=y\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{{\pi }^3}{3{\pi }^2-54}\\ & y_2=y(0)=0\\ & y_3=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{{\pi }^3}{3{\pi }^2-54}\end{array}}$$

(3)
微分方程式 $y^{\prime \prime }+y=x$ の同次方程式 $y^{\prime \prime }+y=0$ の一般解は $y_h=A\cos x+B\sin x$ である。
特解として $y_p=x$ があるため、一般解は $y(x)=x+A\cos x+B\sin x$ となる。
境界条件 $y\left(\frac{2}{3}\pi \right)=0,y\left(-\frac{2}{3}\pi \right)=0$ を代入する。

$$\{\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}\pi -\frac{1}{2}A+\frac{\sqrt{3}}{2}B=0\\ & -\frac{2}{3}\pi -\frac{1}{2}A-\frac{\sqrt{3}}{2}B=0\end{array}$$
両式を足して $A=0$、引いて $B=-\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$ を得る。よって厳密解は
$$\boxed{y(x)=x-\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}\sin x}$$
$x=\frac{\pi }{3}$ での各解の値を比較する。
厳密解:
$$y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}-\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}-\frac{2}{3}\pi =-\frac{\pi }{3}\approx -1.047$$
リッツ法 (1):
$$y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{-63}{378-16{\pi }^2}\left(\frac{\pi }{3}\right)\left(\frac{4}{9}{\pi }^2-\frac{1}{9}{\pi }^2\right)=\frac{-7{\pi }^3}{378-16{\pi }^2}\approx -0.986$$
差分法 (2):
$$y_3=\frac{{\pi }^3}{3{\pi }^2-54}\approx -1.271$$
考察：
リッツ法は基底関数を1項しか用いていないものの、積分を用いて領域全体の誤差（汎関数）を最小化する大域的な近似であるため、厳密解に対する相対誤差が比較的小さい（約5.8%）。一方、差分法は微分を差分商で置き換える局所的な近似であり、本問では分割数が $n=4$ (ステップ幅 $h=\pi /3$) と非常に粗いため、打ち切り誤差が顕著になり精度が悪くなっている（誤差約21%）。差分法の精度を向上させるには、分割数を増やして $h$ を小さくする必要がある。

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这道题综合考查了常微分方程边值问题的三种求解方法：变分法（Ritz法）、数值差分法以及解析求严格解，并要求对结果进行误差对比分析。

第一问使用的是Ritz法（里兹法）。该方法的核心思想是将微分方程边值问题转化为等价的泛函极值问题。题目已经给出了泛函 $J[y]$ 以及只包含一个未知系数 $c$ 的试探函数（基底函数）。我们只需要将其代入泛函中，计算定积分。此时泛函就变成了一个关于变量 $c$ 的普通二次函数，通过令其对 $c$ 的导数为零（极值条件），即可求解出 $c$ 的值，从而得到全局的近似解析表达式。

第二问使用了有限差分法，这是一种典型的离散化数值解法。通过将求解域进行网格划分，并用差分商代替微商，微分方程就被转化为了线性代数方程组。由于题目给定 $n=4$ 划分，加上两端点边界条件已知，实际只需解3个内点的值。利用方程和区间的奇偶对称性，甚至可以直接化简求出 $x=\pi /3$ 处的值。

第三问则是最基础的常微分方程求解。非齐次常系数线性微分方程的通解等于其对应齐次方程的通解（正余弦组合）加上一个特解（观察可知为 $x$）。代入边界条件求出待定常数后，便得到了严格解。最后在特定点比较三个结果，可以看出全局逼近的变分法在单项近似时就有不错的精度，而步长过大的差分法则存在较大的截断误差。