0424-1983 东大工 数学 WEB

向量分析 解析几何

(1) 楕円面 $A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2=1(A,B,C>0)$ の上の点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ における外向き単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ の成分(すなわち方向余弦) $\lambda ,\mu ,\nu ({\lambda }^2+{\mu }^2+{\nu }^2=1)$ を求めよ。

(2) $P_0$ における接平面の方程式を求めよ。

(3) 点 $P_0$ に単位ベクトル $\mathbf{a}$ (成分: $\alpha ,\beta ,\gamma ,{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=1$) の方向の光線が外から入射したとき、楕円面で反射される光線方向の単位ベクトル $\mathbf{b}$ (成分: $\xi ,\eta ,\zeta ,{\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2=1$) はどうなるか。$\mathbf{n}$ と $\mathbf{a}$ であらわせ。

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解答：

(1)
楕円面の方程式を $F(x,y,z)=A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2-1=0$ とおく。
点 $P_0$ における法線ベクトルは勾配ベクトル $\nabla F$ に平行である。

$$\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\left(\begin{array}{c}2A{x}_0\\ 2B{y}_0\\ 2C{z}_0\end{array}\right)$$

$A,B,C>0$ であり、このベクトルは原点から離れる向き、すなわち外向きである。単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ はこれを正規化して得られる。

$$\Vert \nabla F(x_0,y_0,z_0)\Vert =2\sqrt{A^2{x}_0^2+B^2{y}_0^2+C^2{z}_0^2}$$

したがって、成分 $\lambda ,\mu ,\nu$ は以下のようになる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{A{x}_0}{\sqrt{A^2{x}_0^2+B^2{y}_0^2+C^2{z}_0^2}}\\ \mu & =\frac{B{y}_0}{\sqrt{A^2{x}_0^2+B^2{y}_0^2+C^2{z}_0^2}}\\ \nu & =\frac{C{z}_0}{\sqrt{A^2{x}_0^2+B^2{y}_0^2+C^2{z}_0^2}}\end{array}}$$

(2)
点 $P_0$ における接平面は、法線ベクトル $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$ に垂直であるため、その方程式は次のように表される。

$$2A{x}_0(x-x_0)+2B{y}_0(y-y_0)+2C{z}_0(z-z_0)=0$$

整理すると、

$$A{x}_{0}x+B{y}_{0}y+C{z}_{0}z=A{x}_0^2+B{y}_0^2+C{z}_0^2$$

点 $P_0$ は楕円面上の点であるから $A{x}_0^2+B{y}_0^2+C{z}_0^2=1$ が成り立つ。

$$\boxed{A{x}_{0}x+B{y}_{0}y+C{z}_{0}z=1}$$

(3)
入射光線の方向ベクトル $\mathbf{a}$ は、接平面に平行な成分 ${\mathbf{a}}_{\parallel }$ と法線に平行な成分 ${\mathbf{a}}_{\perp }$ に分解できる。

$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}_{\parallel }+{\mathbf{a}}_{\perp }=(\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n})+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$$

反射の法則により、反射光線の方向ベクトル $\mathbf{b}$ は、接平面に平行な成分が保存され、法線に平行な成分が反転する。

$$\mathbf{b}={\mathbf{a}}_{\parallel }-{\mathbf{a}}_{\perp }=(\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n})-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$$ $$\boxed{\mathbf{b}=\mathbf{a}-2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}}$$

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本题主要考查了多元函数微分学在几何上的应用以及空间向量的运算。第一问通过构造隐函数求梯度，梯度向量就是该点曲面的法向量，由于题目要求向外的单位法线向量，而椭球面的该形式梯度恰好指向外部，直接将其除以自身的模长进行单位化即可得到所求的方向余弦。第二问利用第一问求得的法向量和切点坐标直接写出切平面的点法式方程，并利用切点在椭球面上这一已知条件将方程右侧化简为常数1。第三问建立了一个物理光线反射的数学模型，在解析几何中的处理方法是将入射向量进行正交分解，切平面方向上的投影向量保持不变，而法线方向上的投影向量反向，随后将两者重新相加即可得到反射光线的方向向量，这也是计算机图形学中计算镜面反射的基础标准公式。