0423-1983 东大工 数学 WEB

傅里叶与拉普拉斯变换 傅里叶级数 正弦级数 均方误差 帕塞瓦尔定理

(1) $0<x<\pi$で$f(x)=1$と定義された関数をフーリエ正弦級数

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\sin nx\text{(s)}$$

に展開せよ。

(2) 式(s)の$n=N$までとった部分和を$f_N(x)$とする。$x=\frac{m\pi }{6}(m=0,1,2,\cdots ,6)$における値を用いて、$f(x)$が$f_N(x)$で近似される様子を$N=1$および$3$の場合についてグラフで示せ。

(3) 近似の程度をあらわす量

$$e_N=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }|f(x)-f_N(x){|}^2\mathrm{d}x$$

を$N=1$および$3$の場合について小数点以下2桁まで求めよ。

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解答：

(1)
フーリエ正弦級数の係数 $a_n$ は次のように求められる。

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin (nx)\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }1\cdot \sin (nx)\mathrm{d}x$$ $$a_n=\frac{2}{\pi }{\left[-\frac{\cos (nx)}{n}\right]}_0^{\pi }=\frac{2}{n\pi }(1-\cos n\pi )=\frac{2}{n\pi }(1-(-1{)}^n)$$

$n$ が偶数のとき $a_n=0$、$n$ が奇数 ($n=2k-1,k=1,2,\dots$) のとき $a_{2k-1}=\frac{4}{(2k-1)\pi }$ となる。

$$\boxed{f(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}\sin (2k-1)x}$$

(2)
部分和 $f_N(x)$ は、$N=1,3$ のときそれぞれ以下のようになる。

$$f_1(x)=\frac{4}{\pi }\sin x$$ $$f_3(x)=\frac{4}{\pi }\sin x+\frac{4}{3\pi }\sin 3x$$

指定された $x=\frac{m\pi }{6}$ における $f_1(x)$ と $f_3(x)$ の値は次表の通りである。

$$\boxed{\begin{array}{cccccccc}m& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ x& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \frac{2\pi }{3}& \frac{5\pi }{6}& \pi \\ f_1(x)& 0& \frac{2}{\pi }& \frac{2\sqrt{3}}{\pi }& \frac{4}{\pi }& \frac{2\sqrt{3}}{\pi }& \frac{2}{\pi }& 0\\ f_3(x)& 0& \frac{10}{3\pi }& \frac{2\sqrt{3}}{\pi }& \frac{8}{3\pi }& \frac{2\sqrt{3}}{\pi }& \frac{10}{3\pi }& 0\end{array}}$$

（これらの離散点を座標平面上にプロットし結ぶことで、近似波形のグラフが示される。）

(3)
誤差 $e_N$ を展開して整理する。直交性より ${\int }_0^{\pi }\sin (nx)\sin (mx)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\delta }_{nm}$ であるため、

$$\begin{array}{rl}{e}_N& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left(f(x{)}^2-2f(x)\sum _{n=1}^N{a}_n\sin nx+{\left(\sum _{n=1}^N{a}_n\sin nx\right)}^2\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }{1}^2\mathrm{d}x-\frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^N{a}_n{\int }_0^{\pi }\sin nx\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^N{a}_n^2\frac{\pi }{2}\\ & =1-\frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^N{a}_n\left(a_n\frac{\pi }{2}\right)+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N{a}_n^2\\ & =1-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N{a}_n^2\end{array}$$

$N=1$ の場合：

$$e_1=1-\frac{1}{2}{a}_1^2=1-\frac{1}{2}{\left(\frac{4}{\pi }\right)}^2=1-\frac{8}{{\pi }^2}\approx 0.1894\dots$$ $$\boxed{e_1=0.19}$$

$N=3$ の場合 ($a_2=0$)：

$$e_3=1-\frac{1}{2}(a_1^2+a_2^2+a_3^2)=1-\frac{1}{2}\left(\frac{16}{{\pi }^2}+0+\frac{16}{9{\pi }^2}\right)=1-\frac{80}{9{\pi }^2}\approx 0.0993\dots$$ $$\boxed{e_3=0.10}$$

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本题是一道典型的傅里叶级数展开及近似误差分析题。
第一问要求在半周期上将常数函数展开为傅里叶正弦级数，实质上是对周期为 $2\pi$ 的奇函数（方波）进行展开，直接利用正弦级数系数积分公式求解即可，注意利用奇偶性化简项数。
第二问考察对傅里叶级数部分和的离散求值与图像逼近概念。只需将第一问求得的 $a_n$ 代入部分和公式，并带入特定的离散点求出精确值即可，其数值计算表现了级数截断项数 $N$ 增加时曲线对常数直线 $1$ 的逼近情况（两端靠近、中间出现震荡）。
第三问计算均方误差。利用三角函数系的直交性，或者直接引用帕塞瓦尔定理（Parseval’s identity）的截断形式，可大幅简化积分计算。原方差积分最终可化简为 $1-\frac{1}{2}\sum a_n^2$，随后带入前几项求和即可算出所需精度的近似数值。