0422-1983 东大工 数学 WEB

复变函数 留数定理 复积分

複素変数 $z$ と正の実変数 $t$ の関数

$$f(z,t)=\frac{\sin t}{\sin (zt)}$$

を考える。$z$ に関する複素積分

$$g(t)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C}f(z,t)\mathrm{d}z,C:\text{単位円 (図参照)}$$

を求め、$t(>0)$ の関数として図示せよ。

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解答：

被積分関数 $f(z,t)$ の特異点（極）は $\sin (zt)=0$ となる $z$ である。

$$zt=n\pi ⟹z_n=\frac{n\pi }{t}(n\in \mathbb{Z})$$

積分路 $C$ ($|z|=1$) の内部にある極の条件は $|z_n|<1$ であるから、

$$\left|\frac{n\pi }{t}\right|<1⟹-\frac{t}{\pi }<n<\frac{t}{\pi }$$

$K=\lfloor \frac{t}{\pi }\rfloor$ とおくと、$C$ 内の極は $n=-K,-(K-1),\dots ,0,\dots ,K$ の $(2K+1)$ 個存在する。
これらはすべて単純極であり、各極 $z_n$ における留数は

$$\text{Res}(f,z_n)=\underset{z\to z_n}{\lim }\frac{(z-z_n)\sin t}{\sin (zt)}=\frac{\sin t}{{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\sin (zt)|}_{z=z_n}}=\frac{\sin t}{t\cos (z_{n}t)}=\frac{\sin t}{t\cos (n\pi )}=\frac{(-1{)}^n\sin t}{t}$$

留数定理より、$C$ 内のすべての留数の和をとると、

$$g(t)=\sum _{n=-K}^K\text{Res}(f,z_n)=\sum _{n=-K}^K\frac{(-1{)}^n\sin t}{t}=\frac{\sin t}{t}\left(1+2\sum _{n=1}^K(-1{)}^n\right)$$

ここで、級数の和は $\left(1+2\sum _{n=1}^K(-1{)}^n\right)=(-1{)}^K$ となるため、

$$g(t)=(-1{)}^K\frac{\sin t}{t}=(-1{)}^{\lfloor t/\pi \rfloor }\frac{\sin t}{t}$$

$t>0$ において、$t\in [K\pi ,(K+1)\pi )$ のとき $\sin t$ の符号は $(-1{)}^K$ と一致する。すなわち $(-1{)}^{\lfloor t/\pi \rfloor }\sin t=|\sin t|$ が成り立つ。
なお、$t=m\pi$ ($m$は正の整数) のとき、極が積分路 $C$ 上に存在するが、$t\to m\pi$ の極限で $g(t)\to 0$ となり、関数として連続である。

$$\boxed{\begin{array}{rl}g(t)& =\frac{|\sin t|}{t}\\ (\text{図示：}& \text{関数 }y=\frac{|\sin t|}{t}\text{ の }t>0\text{ における波形})\end{array}}$$

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本题主要考察复变函数中的留数定理及其在含参积分中的应用。首先需要找出被积函数在单位圆内的极点分布情况，极点位置为 z = nπ/t。对于给定的正实数 t，位于单位圆 |z|<1 内的极点数量是有限的，且会随着 t 的增大而逐渐增多。利用留数定理，计算单位圆内所有极点的留数之和。对于单极点，利用分母求导法则可以非常简便地求出每个极点处的留数为 (-1)^n sin(t) / t。

在对圆内所有的留数进行求和时，发现这构成了一个有限项的交错级数求和。由于极点是关于原点对称分布的，这个级数求和的结果可以被巧妙地化简为 (-1)^K，其中 K 是 t/π 的向下取整。更进一步，sin(t) 函数本身的符号恰好在每个长度为 π 的区间内发生交错变化，这与 (-1)^K 的符号变化规律完全吻合。因此将这两部分相乘，恰好抵消了所有的负号，直接化简为绝对值形式 |sin(t)|。最终得出的函数 g(t) = |sin(t)|/t 也就是 sinc 函数的绝对值，其图像在正半轴上表现为连续的、随着 t 增大而振幅逐渐减小衰减的拱形波峰。