0421-1983 东大工 数学 WEB

常微分方程 Riccati方程

(1) 微分方程式

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)+Q(x)y+R(x)y^2=0(R(x)\ne 0)$$

は、$y=\frac{1}{R(x)u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$なる変換で$u$に関する線形微分方程式となることを示せ。

(2) 次の微分方程式の解で、$x=0$において$y=-\frac{4}{3}$となるものを求めよ。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2e^{2x}+y+e^{-2x}{y}^2=0$$

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解答：

(1)
与えられた変換 $y=\frac{1}{R(x)u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ を $x$ で微分する。

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\frac{\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}R(x)u-\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\left(R^{\prime }(x)u+R(x)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)}{(R(x)u{)}^2}\\ & =\frac{1}{R(x)u}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{R^{\prime }(x)}{R(x{)}^{2}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{R(x)u^2}{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)}^2\end{array}$$

これを元の微分方程式に代入すると、

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{R(x)u}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{R^{\prime }(x)}{R(x{)}^{2}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{R(x)u^2}{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)}^2\\ & +P(x)+Q(x)\left(\frac{1}{R(x)u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)+R(x){\left(\frac{1}{R(x)u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)}^2=0\end{array}$$

第3項と第6項が相殺されるため、方程式は以下のように整理される。

$$\frac{1}{R(x)u}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{Q(x)R(x)-R^{\prime }(x)}{R(x{)}^{2}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+P(x)=0$$

両辺に $R(x)u$ を乗じると、

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}+\left(Q(x)-\frac{R^{\prime }(x)}{R(x)}\right)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+P(x)R(x)u=0$$

これは $u$ に関する2階線形同次微分方程式である。(証明終)

(2)
与えられた方程式は (1) において $P(x)=2e^{2x},Q(x)=1,R(x)=e^{-2x}$ としたものに該当する。
このとき、

$$Q(x)-\frac{R^{\prime }(x)}{R(x)}=1-\frac{-2e^{-2x}}{e^{-2x}}=3$$ $$P(x)R(x)=2e^{2x}\cdot e^{-2x}=2$$

これらを (1) で導出した線形微分方程式に代入すると、

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}+3\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+2u=0$$

この方程式の特性方程式は ${\lambda }^2+3\lambda +2=0$ であり、解は $\lambda =-1,-2$ である。
したがって、$u$ の一般解は任意定数 $C_1,C_2$ を用いて次のように表される。

$$u(x)=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}$$

これを $x$ で微分して、

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-C_1{e}^{-x}-2C_2{e}^{-2x}$$

(1)の変換式 $y=\frac{1}{e^{-2x}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=e^{2x}\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ に代入すると、

$$y=e^{2x}\frac{-C_1{e}^{-x}-2C_2{e}^{-2x}}{C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}}=\frac{-C_1{e}^{3x}-2C_2{e}^{2x}}{C_1{e}^x+C_2}$$

初期条件として $x=0$ のとき $y=-\frac{4}{3}$ を満たす必要があるため、

$$\frac{-C_1-2C_2}{C_1+C_2}=-\frac{4}{3}$$

これを解くと、

$$3(C_1+2C_2)=4(C_1+C_2)⟹C_1=2C_2$$

$C_2\ne 0$ とし、$C_2=1,C_1=2$ を代入すると、

$$y=\frac{-2e^{3x}-2e^{2x}}{2e^x+1}$$ $$\boxed{y=-\frac{2e^{2x}(e^x+1)}{2e^x+1}}$$

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本题主要考察常微分方程中 Riccati 方程（黎卡提方程）的求解方法。
第一问通过引入非线性变换将原本含有平方项的 Riccati 方程转化为二阶线性齐次常微分方程。求导时代入商的导数公式，注意化简消去非线性的平方项，通过两边同乘 $R(x)u$ 将分母消去，即可得到标准的二阶线性微分方程形式，从而完成证明。
第二问直接应用第一问的结论，通过对应系数找出 $P(x),Q(x),R(x)$，将非线性一阶方程转化为常系数二阶线性齐次微分方程，利用特征方程求出 $u(x)$ 的通解。然后再将 $u$ 及其导数代回第一问的变换式中得到 $y$ 的通解，最后代入初始条件确定任意常数间的比例关系，从而求出原方程的特解。由于变换本身是一个商的形式，上下同除以一个常数并不会改变函数的值，因此任意常数的比例唯一确定了最终的特解。