0420-1983 东大工 数学 WEB

线性代数 空间向量 线性方程组的解

ベクトル${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3,\mathbf{b}$を実の定数$a,b$を用いて

$${\mathbf{a}}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{a}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ b\end{array}\right)$$

と定義する。$[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3]$を、${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$を列ベクトルとする$3\times 3$の行列とするとき、未知数$x,y,z$に関する連立方程式

$$[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3]\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\mathbf{b}$$

について、以下の問に答えよ。

(1) (I) $b$の値にかかわらず解が存在するための、定数$a$のみたす条件を求めよ。
(II) (1I)以外の場合でも、$b$の値によっては解が存在する。そのときの$a,b$の値を求めよ。

(2) 上の(1I),(1II)のそれぞれの場合の、3次元空間における${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3,\mathbf{b}$の幾何学的関係の特徴を述べよ。

(3) (1II)の場合につき、解(一意的でない)を求めよ。

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解答：

(1)
(I) 行列 $A=[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3]$ とおく。任意の $\mathbf{b}$ に対して解が存在する条件は、$\det A\ne 0$ である。

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=a(2\cdot 1-1\cdot 1)-1(1\cdot 1-2\cdot 1)+2(1\cdot 1-2\cdot 2)$$ $$\det A=a(1)-1(-1)+2(-3)=a+1-6=a-5$$ $$a-5\ne 0⟹\boxed{a\ne 5}$$

(II) (1I)以外の場合、$a=5$ である。このとき、拡大係数行列に対して行基本変形を行う。

$$\left(\begin{array}{ccccc}5& 1& 2& |& -1\\ 1& 2& 1& |& 2\\ 2& 1& 1& |& b\end{array}\right)\stackrel{R_1\leftrightarrow R_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& |& 2\\ 5& 1& 2& |& -1\\ 2& 1& 1& |& b\end{array}\right)$$ $$\stackrel{\begin{array}{c}{R}_2-5R_1\\ R_3-2R_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& |& 2\\ 0& -9& -3& |& -11\\ 0& -3& -1& |& b-4\end{array}\right)$$ $$\stackrel{R_3-\frac{1}{3}{R}_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& |& 2\\ 0& -9& -3& |& -11\\ 0& 0& 0& |& b-4+\frac{11}{3}\end{array}\right)$$

解が存在する条件は、第3行がすべて0になることである。

$$b-4+\frac{11}{3}=0⟹b-\frac{1}{3}=0⟹b=\frac{1}{3}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}a& =5\\ b& =\frac{1}{3}\end{array}}$$

(2)
1I ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$は非共面（1次独立）であり、 $\mathbf{b}$ はこれらで張られる3次元空間内の点として一意に定まる。
1II ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$ \text{は共面（同一平面上にある）であり、 $\mathbf{b}$ もそれらと同一平面上にある。

(3)
$a=5,b=\frac{1}{3}$ のとき、行基本変形の結果より以下の連立方程式を得る。

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ -9y-3z=-11\end{array}$$

$y=t$ ($t$ は任意の実数) とおく。第2式より、

$$-3z=9t-11⟹z=\frac{11}{3}-3t$$

第1式に代入して、

$$x=2-2t-\left(\frac{11}{3}-3t\right)=t-\frac{5}{3}$$ $$\boxed{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t-\frac{5}{3}\\ t\\ \frac{11}{3}-3t\end{array}\right)(t\text{ は任意の実数})}$$

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本题主要考察线性代数中线性方程组的解的判定以及向量空间的几何意义。第一问中，由克莱姆法则和矩阵的秩的性质可知，当系数矩阵满秩即行列式不为零时，方程组对于任意常数项均有唯一解，这对应了三维空间中三个列向量线性无关，可以作为三维空间的一组基；当行列式为零时系统降秩，此时若要方程组有解，增广矩阵的秩必须等于系数矩阵的秩，这就要求在进行初等行变换后，当系数矩阵出现全零行时，增广矩阵的对应常数项也必须为零从而求出特定的参数值。第二问将其抽象为直观的几何关系，满秩代表向量不共面，降秩但有解代表所有的列向量以及常数项向量都位于同一个平面内。第三问则是求解带有自由变量的非齐次线性方程组，只需将初等行变换得到的化简形式用参数表达即可。