0419-1982 东大工 数学 WEB

概率统计 期望 积分

毎日図の A 点を出て、A $\to$ B $\to$ B${}^{\prime }$ $\to$ C${}^{\prime }$ $\to$ D または A $\to$ B $\to$ C $\to$ C${}^{\prime }$ $\to$ D という経路で D 点まで歩いて通う人がいる。AB, BC, B${}^{\prime }$C${}^{\prime }$ および C${}^{\prime }$D は歩行者専用道路であり、BB${}^{\prime }$ および CC${}^{\prime }$ は横断歩道である。BB${}^{\prime }$ および CC${}^{\prime }$ の歩行者用信号は、位相が一致していて、ともに赤が $a$ 秒、青が $b$ 秒である。（ここに、$a>b$ である。また、青の点滅信号は無いものとする。）この人は、A 点を信号の位相とは無関係にランダムな時刻に出て一定の早さで歩くものとし、B 点から C 点までの所要時間は $t$ 秒であるとする。彼は赤信号で待たされる時間をなるべく短くしたいと思い、つぎの 2 つの方針を考えてみた。

甲案 B 点に来たときに信号が青なら横断するが、赤ならすぐに C 点に向かい、CC${}^{\prime }$ の青信号で横断する。
乙案 B 点に来たときに信号が青なら横断するし、赤ならその場で信号が青になるまで待って横断する。

(1) 両案について、信号待ちの時間の期待値を求めよ。
(2) (1) の結果に基いて、いずれの案が有利であるかを判定せよ。

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解答：

(1)
信号の1周期を $T=a+b$ とする。人がB点に到着する時刻は信号の位相に対してランダムであるため、赤信号が始まる瞬間を基準（時刻 $0$）とすると、B点への到着時刻 $\tau$ は区間 $[0,T)$ 上の一様分布に従う。確率密度関数は $\frac{1}{T}$ である。
時刻 $x$ における信号待ち時間を与える関数を $W(x)$ とすると、$W(x)$ は周期 $T$ の周期関数であり、1周期 $[0,T)$ において次のように表される。

$$W(x)=\{\begin{array}{ll}a-x& (0\le x<a)\\ 0& (a\le x<a+b)\end{array}$$

乙案について：
B点で待つ時間は $W(\tau )$ である。その期待値 $E_{\text{乙}}$ は、

$$\begin{array}{rl}{E}_{\text{乙}}& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}W(\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{a+b}\left({\int }_0^a(a-\tau )\mathrm{d}\tau +{\int }_a^{a+b}0\mathrm{d}\tau \right)\\ & =\frac{1}{a+b}{\left[a\tau -\frac{{\tau }^2}{2}\right]}_0^a\\ & =\frac{a^2}{2(a+b)}\end{array}$$

甲案について：
B点到着時が青信号（$a\le \tau <T$）であれば待ち時間は $0$ である。
B点到着時が赤信号（$0\le \tau <a$）であれば、C点まで $t$ 秒歩き、時刻 $\tau +t$ にC点に到着して横断する。このときの待ち時間は $W(\tau +t)$ である。
したがって、甲案の待ち時間の期待値 $E_{\text{甲}}$ は、

$$E_{\text{甲}}=\frac{1}{T}{\int }_0^{a}W(\tau +t)\mathrm{d}\tau$$

ここで $y=\tau +t$ と置換積分し、$t=n(a+b)+c$（$n$ は非負整数、$0\le c<a+b$）とすると、$W(y)$ は周期 $a+b$ を持つため、

$$E_{\text{甲}}=\frac{1}{a+b}{\int }_t^{a+t}W(y)\mathrm{d}y=\frac{1}{a+b}{\int }_c^{a+c}W(y)\mathrm{d}y$$

積分区間 $[c,a+c]$ と $W(y)$ の正の値をとる区間の重なり方によって、$c$ の値で3つの場合に分けて計算する。

(i) $0\le c<b$ のとき：
区間 $[c,a+c]$ において、$W(y)$ が正となるのは $[c,a]$ のみである。

$${\int }_c^a(a-y)\mathrm{d}y={\left[-\frac{(a-y{)}^2}{2}\right]}_c^a=\frac{(a-c{)}^2}{2}$$

(ii) $b\le c<a$ のとき：
区間 $[c,a]$ と次の周期の赤信号区間 $[a+b,a+c]$ で $W(y)$ は正となる。次の周期での待ち時間は $2a+b-y$ である。

$$\begin{array}{rl}{\int }_c^{a+c}W(y)\mathrm{d}y& ={\int }_c^a(a-y)\mathrm{d}y+{\int }_{a+b}^{a+c}(2a+b-y)\mathrm{d}y\\ & =\frac{(a-c{)}^2}{2}+{\left[-\frac{(2a+b-y{)}^2}{2}\right]}_{a+b}^{a+c}\\ & =\frac{(a-c{)}^2}{2}+\frac{a^2}{2}-\frac{(a-c+b{)}^2}{2}\\ & =\frac{a^2-2ab-b^2+2bc}{2}\end{array}$$

(iii) $a\le c<a+b$ のとき：
区間 $[c,a+c]$ において、$W(y)$ が正となるのは次の周期の赤信号区間 $[a+b,a+c]$ のみである。

$${\int }_{a+b}^{a+c}(2a+b-y)\mathrm{d}y=\frac{a^2-(a+b-c{)}^2}{2}$$

以上をまとめると、待ち時間の期待値はそれぞれ以下のようになる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{乙案の期待値: }\frac{a^2}{2(a+b)}\\ & \text{甲案の期待値: }t\text{ を }a+b\text{ で割った余りを }c(0\le c<a+b)\text{ として、}\\ & \{\begin{array}{ll}\frac{(a-c{)}^2}{2(a+b)}& (0\le c<b)\\ \frac{a^2-2ab-b^2+2bc}{2(a+b)}& (b\le c<a)\\ \frac{a^2-(a+b-c{)}^2}{2(a+b)}& (a\le c<a+b)\end{array}\end{array}}$$

(2)
甲案と乙案の期待値を比較する。(1)で求めた $E_{\text{甲}}$ と $E_{\text{乙}}$ の分子を比較する（分母はともに $2(a+b)$）。

(i) $0\le c<b$ のとき：
$a^2-(a-c{)}^2=c(2a-c)$。$c\ge 0,c<b<a$ より、これは $c=0$ のとき $0$、$c>0$ のとき正である。
ゆえに $E_{\text{甲}}\le E_{\text{乙}}$。

(ii) $b\le c<a$ のとき：
$a^2-(a^2-2ab-b^2+2bc)=b(2a+b-2c)$。$c<a$ より $2a-2c>0$ であるから、$b(2a-2c+b)>0$ となり、常に正である。
ゆえに $E_{\text{甲}}<E_{\text{乙}}$。

(iii) $a\le c<a+b$ のとき：
$a^2-\{a^2-(a+b-c{)}^2\}=(a+b-c{)}^2$。$c<a+b$ より常に正である。
ゆえに $E_{\text{甲}}<E_{\text{乙}}$。

以上より、$c=0$ すなわち $t$ が $a+b$ の整数倍であるときのみ両案の期待値は等しくなり、それ以外のすべての時刻 $t$ において甲案の期待値の方が厳密に小さくなる。
したがって、総合的に判断して甲案が有利である。

$$\boxed{\text{甲案が有利である（ただし、歩行時間 }t\text{ が周期 }a+b\text{ の整数倍のときは同等）}}$$

(証明終)

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这道题目是一道非常经典的关于连续均匀分布和周期函数积分的概率题，核心在于将“随机到达时间”转化为在信号灯周期上的均匀分布积分。解答这道题的关键是准确构建等待时间关于到达时刻的函数关系。对于乙案，因为人始终在同一个路口等待，相当于直接对一个周期内的等待时间求期望，积分过程比较简单。而对于甲案，如果在B点遇到红灯，人会走到C点再过马路，这就相当于把到达C点的时刻整体平移了 $t$ 秒。由于红绿灯的状态是周期性变化的，这在数学上等价于在一个固定的窗口长度（红灯时长 $a$）内对平移后的周期函数求积分。因为函数本身只有在红灯期间有正值（且逐渐递减至零），在绿灯期间为零，所以把这段积分窗口错开原本的红灯区间，必然会导致积分落入绿灯的零值区域，从而使得总的积分面积减小或者不变。通过对平移量 $t$ 所在周期的余数进行分类讨论，可以严谨地写出甲案期望值的分段表达式，进而通过简单的代数作差法证明甲案的期望等待时间始终小于或等于乙案，体现了利用数学期望进行决策优化的思想。