0417-1982 东大工 数学 WEB

微分积分 空间解析几何 重积分

直角座標系 $xyz$ における $x-y$ 平面上の 2 定点 $(-a,0)$ と $(a,0)$ からの距離の積が $a^2$ である点の軌跡について、次の問に答えよ。

(1) この平面図形の方程式を求めよ。

(2) (1) の図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の表面積を求めよ。

(3) (1) の図形を $z$ 軸に平行に移動してできる柱面の内部で、原点を中心とする半径 $\sqrt{2}a$ の球で囲まれる部分の体積を求めよ。

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解答：

(1)
軌跡上の点を $(x,y)$ とおく。題意より、2定点からの距離の積は $a^2$ であるから、

$$\sqrt{(x+a{)}^2+y^2}\sqrt{(x-a{)}^2+y^2}=a^2$$

両辺を2乗して整理する。

$$\begin{array}{rl}((x+a{)}^2+y^2)((x-a{)}^2+y^2)& =a^4\\ ((x^2+y^2+a^2)+2ax)((x^2+y^2+a^2)-2ax)& =a^4\\ (x^2+y^2+a^2{)}^2-4a^2{x}^2& =a^4\\ (x^2+y^2{)}^2+2a^2(x^2+y^2)+a^4-4a^2{x}^2& =a^4\\ (x^2+y^2{)}^2-2a^2(x^2-y^2)& =0\end{array}$$ $$\boxed{(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2)}$$

(2)
(1) の方程式を極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ で表すと、

$$r^4=2a^2{r}^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )⟹r^2=2a^2\cos 2\theta$$

この曲線（レムニスケート）は $x$ 軸および $y$ 軸対称である。第一象限（$0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$）の弧を $x$ 軸のまわりに回転させてできる曲面積は、求める表面積の半分である。
弧長要素 $\mathrm{d}s$ を計算する。

$$r^2=2a^2\cos 2\theta ⟹2r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta }=-4a^2\sin 2\theta ⟹\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{2a^2\sin 2\theta }{r}$$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}s& =\sqrt{r^2+{\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta }\right)}^2}\mathrm{d}\theta =\sqrt{r^2+\frac{4a^4{\sin }^{2}2\theta }{r^2}}\mathrm{d}\theta \\ & =\sqrt{\frac{4a^4{\cos }^{2}2\theta +4a^4{\sin }^{2}2\theta }{r^2}}\mathrm{d}\theta =\frac{2a^2}{r}\mathrm{d}\theta \end{array}$$

回転体の表面積 $S$ は、

$$\begin{array}{rl}S& =2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}2\pi y\mathrm{d}s\\ & =4\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(r\sin \theta )\frac{2a^2}{r}\mathrm{d}\theta \\ & =8\pi a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin \theta \mathrm{d}\theta \\ & =8\pi a^2{\left[-\cos \theta \right]}_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & =8\pi a^2\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{array}$$ $$\boxed{S=4(2-\sqrt{2})\pi a^2}$$

(3)
柱面領域 $D$ は $(x^2+y^2{)}^2\le 2a^2(x^2-y^2)$、すなわち $r^2\le 2a^2\cos 2\theta$ である。
球の内部は $x^2+y^2+z^2\le 2a^2$ であり、上半分は $z=\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}=\sqrt{2a^2-r^2}$ である。
立体は各八分空間で対称であるため、第一八分空間における体積を求めて8倍する。

$$\begin{array}{rl}V& =8{\iint }_{D_1}\sqrt{2a^2-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =8{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{2a^2\cos 2\theta }}\sqrt{2a^2-r^2}r\mathrm{d}r\\ & =8{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\left[-\frac{1}{3}(2a^2-r^2{)}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^{\sqrt{2a^2\cos 2\theta }}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{8}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left((2a^2{)}^{\frac{3}{2}}-(2a^2-2a^2\cos 2\theta {)}^{\frac{3}{2}}\right)\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{8}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left(2\sqrt{2}{a}^3-(4a^2{\sin }^2\theta {)}^{\frac{3}{2}}\right)\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{8a^3}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left(2\sqrt{2}-8{\sin }^3\theta \right)\mathrm{d}\theta \end{array}$$

ここで ${\sin }^3\theta$ の積分を計算する。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^3\theta \mathrm{d}\theta & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(1-{\cos }^2\theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta \\ & ={\left[-\cos \theta +\frac{1}{3}{\cos }^3\theta \right]}_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & =\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{12}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}-\frac{5\sqrt{2}}{12}\end{array}$$

元の式に代入する。

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{8a^3}{3}\left(\frac{\sqrt{2}\pi }{2}-8\left(\frac{2}{3}-\frac{5\sqrt{2}}{12}\right)\right)\\ & =\frac{8a^3}{3}\left(\frac{\sqrt{2}\pi }{2}-\frac{16}{3}+\frac{10\sqrt{2}}{3}\right)\\ & =\frac{4\sqrt{2}\pi a^3}{3}-\frac{128a^3}{9}+\frac{80\sqrt{2}{a}^3}{9}\end{array}$$ $$\boxed{V=\frac{4a^3}{9}(3\sqrt{2}\pi +20\sqrt{2}-32)}$$

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本题考察了双纽线（伯努利双纽线）相关的解析几何表达及其旋转曲面面积与关联立体体积的积分计算。第一问通过直译平面上两点距离乘积为常数的几何条件，经过常规的代数化简即可得到其笛卡尔坐标方程。第二问中，求解旋转面面积的关键在于引入极坐标以简化弧长微元的表达，双纽线的极坐标形式能极大地化简根号内的求导项，注意结合图形的对称性，确定正确的积分上下限可以避免重复计算或符号错误。第三问求解相交立体的体积，本质上是在极坐标系下的二重积分，由于柱面的最大半径 $\sqrt{2}a$ 恰好等于球面的半径，因此积分区域就是完整的双纽线内部。采用先对 $r$ 后对 $\theta$ 的积分顺序，内层积分恰为凑微分的简单形式，外层积分利用三角函数的降幂法求出，体现了多元微积分中坐标系转换的作用。