0416-1982 东大工 数学 WEB

线性代数 多项式 递推数列

$n$ 次の三重対角行列

$$A_n=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_1& & & \text{0}\\ c_1& a_2& \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ \text{0}& & & c_{n-1}& a_n\end{array}\right)$$

の特性多項式を ${\phi }_n(t)$ とする。ここに ${\phi }_n(t)$ は、

$${\phi }_n(t)=\det (t{I}_n-A_n)$$

$I_n$ は $n$ 次の単位行列
で与えられる $t$ の多項式であり、また

$$A_1=(a_1),A_2=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& a_2\end{array}\right)$$

とする。

(1) ${\phi }_n(t)(n\ge 3)$ を ${\phi }_{n-1}(t),{\phi }_{n-2}(t)$ であらわす漸化式を求めよ。

(2) $S_n(x)=\frac{\sin (n{\cos }^{-1}x)}{\sqrt{1-x^2}}(n=1,2,\cdots )$
で定義される関数 $S_n(x)$ は漸化式

$$S_n(x)=2x{S}_{n-1}(x)-S_{n-2}(x)$$

を満たすことを示せ。ただし $-1<x<1,0<{\cos }^{-1}x<\pi$ とする。

(3) (1),(2) の結果を利用し、行列 $A_n$ の要素が

$$a_1=a_2=\cdots =a_n=a$$ $$b_1{c}_1=b_2{c}_2=\cdots =b_{n-1}{c}_{n-1}=1$$

を満たすときの $A_n$ のすべての固有値を求めよ。

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解答：

(1)
行列 $t{I}_n-A_n$ の行列式 ${\phi }_n(t)$ を第 $n$ 行について余因子展開する。

$${\phi }_n(t)=\left|\begin{array}{ccccc}t-a_1& -b_1& & & 0\\ -c_1& t-a_2& \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & t-a_{n-1}& -b_{n-1}\\ 0& & & -c_{n-1}& t-a_n\end{array}\right|$$

第 $n$ 行の非ゼロ要素は $(n,n-1)$ 成分の $-c_{n-1}$ と $(n,n)$ 成分の $t-a_n$ である。
$(n,n)$ 成分に関する余因子は ${\phi }_{n-1}(t)$ である。
$(n,n-1)$ 成分に関する小行列は、右下の列が一つ手前にずれ、その最後の要素が $-b_{n-1}$ のみとなるブロック構造を持つため、その行列式は $-b_{n-1}{\phi }_{n-2}(t)$ となる。
したがって、

$$\begin{array}{rl}{\phi }_n(t)& =(t-a_n){\phi }_{n-1}(t)+(-c_{n-1})(-1{)}^{n+(n-1)}(-b_{n-1}{\phi }_{n-2}(t))\\ & =(t-a_n){\phi }_{n-1}(t)-b_{n-1}{c}_{n-1}{\phi }_{n-2}(t)\end{array}$$ $$\boxed{{\phi }_n(t)=(t-a_n){\phi }_{n-1}(t)-b_{n-1}{c}_{n-1}{\phi }_{n-2}(t)}$$

(2)
$\theta ={\cos }^{-1}x$ とおくと、$x=\cos \theta$ であり、条件 $0<\theta <\pi$ より $\sin \theta >0$ となるため $\sqrt{1-x^2}=\sin \theta$ である。
これにより $S_n(x)$ は次のように表される。

$$S_n(x)=\frac{\sin n\theta }{\sin \theta }$$

積和の公式 $2\cos A\sin B=\sin (A+B)-\sin (A-B)$ を用いて右辺を変形する。

$$\begin{array}{rl}2x{S}_{n-1}(x)-S_{n-2}(x)& =2\cos \theta \frac{\sin (n-1)\theta }{\sin \theta }-\frac{\sin (n-2)\theta }{\sin \theta }\\ & =\frac{2\sin (n-1)\theta \cos \theta -\sin (n-2)\theta }{\sin \theta }\\ & =\frac{\{\sin (n\theta )+\sin (n-2)\theta \}-\sin (n-2)\theta }{\sin \theta }\\ & =\frac{\sin n\theta }{\sin \theta }=S_n(x)\end{array}$$

(証明終)

(3)
与えられた条件 $a_k=a$ および $b_k{c}_k=1$ を (1) の漸化式に代入する。

$${\phi }_n(t)=(t-a){\phi }_{n-1}(t)-{\phi }_{n-2}(t)(n\ge 3)$$

また、初期条件は以下の通りである。

$${\phi }_1(t)=t-a$$ $${\phi }_2(t)=(t-a{)}^2-1$$

便宜上 ${\phi }_0(t)=1$ と定義すると、${\phi }_2(t)=(t-a){\phi }_1(t)-{\phi }_0(t)$ となり、$n\ge 2$ に対して漸化式が成立する。
ここで、$t-a=2x$、すなわち $x=\frac{t-a}{2}$ とおく。
(2)の $S_n(x)$ について、初期項は

$$S_1(x)=\frac{\sin \theta }{\sin \theta }=1={\phi }_0(t)$$ $$S_2(x)=\frac{\sin 2\theta }{\sin \theta }=2\cos \theta =2x=t-a={\phi }_1(t)$$

$S_n(x)$ と ${\phi }_{n-1}(t)$ は同一の漸化式と初期条件を満たすため、すべての $n\ge 1$ について

$${\phi }_n(t)=S_{n+1}\left(\frac{t-a}{2}\right)$$

が成り立つ。行列 $A_n$ の固有値は特性方程式 ${\phi }_n(t)=0$ の解であるから、

$$S_{n+1}\left(\frac{t-a}{2}\right)=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }=0$$

$\sin \theta \ne 0$ であるため、$\sin ((n+1)\theta )=0$ となる。
$0<\theta <\pi$ の範囲において、これを満たす $\theta$ は

$$(n+1)\theta =k\pi ⟹{\theta }_k=\frac{k\pi }{n+1}(k=1,2,\dots ,n)$$

$\cos \theta =\frac{t-a}{2}$ より、固有値 $t_k$ は

$$\frac{t_k-a}{2}=\cos \left(\frac{k\pi }{n+1}\right)$$ $$\boxed{t_k=a+2\cos \left(\frac{k\pi }{n+1}\right)(k=1,2,\dots ,n)}$$

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本题考察了三对角矩阵的特征多项式递推关系及其与第二类切比雪夫多项式之间的联系。求解三对角矩阵的行列式通常利用按最后一行或最后一列的拉普拉斯展开定理，从而建立一个二阶线性递推数列。第二问中给出的函数实际上正是第二类切比雪夫多项式的三角函数形式表示，利用简单的积化和差公式即可验证其递推关系。在第三问中，通过对比第一问得出的特征多项式递推式与第二问的切比雪夫多项式递推式，发现只需进行平移缩放代换 $x=\frac{t-a}{2}$ 即可使两者完全匹配。从而将求特征值的多项式求根问题，巧妙地转化为了求解三角函数的零点问题，最终直接写出矩阵的 $n$ 个互不相同的实数特征值。