0415-1982 东大工 数学 WEB

复变函数 微分积分

(1) $z=x+iy,w=u+iv$ ($x,y,u,v$ は実数、$i=\sqrt{-1}$) とする。写像 $w=\coth z$ によって、$z$ 平面上の $x=\text{一定}$ の直線群、$y=\text{一定}$ の直線群は、それぞれ $w$ 平面上のどのような図形に写像されるか。これらの図形の方程式を導き、概形を図示せよ。

(2) $u-v$ 平面上での実数関数 $\varphi (u,v)$ の勾配を $|\text{grad }\varphi |=\left|\frac{\partial \varphi }{\partial u}+i\frac{\partial \varphi }{\partial v}\right|$ で定義する。

(1)において、$x$ は $(u,v)$ の実数関数となるが、その $u-v$ 平面での勾配 $|\text{grad }x|$ を $(x,y)$ の関数としてあらわすと $\frac{1}{2}|\cosh 2x-\cos 2y|$ となることを示せ。

次にこれを用いて、$x=1$ に対応する $u-v$ 平面の曲線上で、 $|\text{grad }x|$ が最大となる点の $(u,v)$ 座標を求めよ。

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解答：

(1)
写像 $w=\coth z$ を実部と虚部に分ける。

$$\begin{array}{rl}w=u+iv& =\frac{\cosh (x+iy)}{\sinh (x+iy)}=\frac{\cosh (x+iy)\sinh (x-iy)}{\sinh (x+iy)\sinh (x-iy)}\\ & =\frac{\sinh 2x-\sinh 2iy}{\cosh 2x-\cos 2y}\\ & =\frac{\sinh 2x}{\cosh 2x-\cos 2y}-i\frac{\sin 2y}{\cosh 2x-\cos 2y}\end{array}$$

したがって、

$$u=\frac{\sinh 2x}{\cosh 2x-\cos 2y},v=\frac{-\sin 2y}{\cosh 2x-\cos 2y}$$

$x=c_1$（一定、$c_1\ne 0$）のとき、$y$ を消去する。

$$u^2+v^2=\frac{{\sinh }^{2}2c_1+{\sin }^{2}2y}{(\cosh 2c_1-\cos 2y{)}^2}=\frac{{\cosh }^{2}2c_1-{\cos }^{2}2y}{(\cosh 2c_1-\cos 2y{)}^2}=\frac{\cosh 2c_1+\cos 2y}{\cosh 2c_1-\cos 2y}$$

$u$ の式より $\cos 2y=\cosh 2c_1-\frac{\sinh 2c_1}{u}$ を代入して整理する。

$$u^2+v^2=\frac{2u\cosh 2c_1-\sinh 2c_1}{\sinh 2c_1}=2u\coth 2c_1-1$$ $$\boxed{(u-\coth 2x{)}^2+v^2=\frac{1}{{\sinh }^{2}2x}}$$

これは $u$ 軸上に中心を持つ互いに交わらない円群を表す（$x=0$ のときは $v$ 軸に一致）。

$y=c_2$（一定、$c_2\ne \frac{n\pi }{2}$）のとき、$x$ を消去する。
$v$ の式より $\cosh 2x=\cos 2c_2-\frac{\sin 2c_2}{v}$ を同様に代入する。

$$u^2+v^2=\frac{2v\cos 2c_2-\sin 2c_2}{-\sin 2c_2}=-2v\cot 2c_2+1$$ $$\boxed{u^2+(v+\cot 2y{)}^2=\frac{1}{{\sin }^{2}2y}}$$

これは $v$ 軸上に中心を持ち、2点 $(\pm 1,0)$ を通る円群を表す（$y=\frac{n\pi }{2}$ のときは $u$ 軸に一致）。これら2つの円群は直交する。

(2)
関数 $w=f(z)=\coth z$ は正則であるから、その逆関数 $z=x(u,v)+iy(u,v)=f^{-1}(w)$ も $f^{\prime }(z)\ne 0$ なる範囲で正則である。
コーシー・リーマンの方程式 $\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}$ より、

$$|\text{grad }x|=\left|\frac{\partial x}{\partial u}+i\frac{\partial x}{\partial v}\right|=\left|\frac{\partial x}{\partial u}-i\frac{\partial y}{\partial u}\right|=\left|\overline{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}w}\right)}\right|=\left|\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}w}\right|$$

$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=-\frac{1}{{\sinh }^{2}z}$ であるため、

$$|\text{grad }x|=|-{\sinh }^{2}z|=|\sinh (x+iy){|}^2={\sinh }^{2}x{\cos }^{2}y+{\cosh }^{2}x{\sin }^{2}y$$

関係式 ${\sinh }^{2}x=\frac{\cosh 2x-1}{2}$ および ${\sin }^{2}y=\frac{1-\cos 2y}{2}$ を用いて変形する。

$$\begin{array}{rl}|\text{grad }x|& =\frac{\cosh 2x-1}{2}{\cos }^{2}y+\frac{\cosh 2x+1}{2}{\sin }^{2}y\\ & =\frac{1}{2}(\cosh 2x({\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y)-({\cos }^{2}y-{\sin }^{2}y))\\ & =\frac{1}{2}(\cosh 2x-\cos 2y)\end{array}$$

$\cosh 2x\ge 1\ge \cos 2y$ より常に正であるため、絶対値をつけても等式は成立する。

$$|\text{grad }x|=\frac{1}{2}|\cosh 2x-\cos 2y|$$

(証明終)

$x=1$ のとき、勾配は

$$|\text{grad }x|=\frac{1}{2}(\cosh 2-\cos 2y)$$

これが最大となるのは $\cos 2y=-1$ のとき、すなわち $2y=\pi +2n\pi$ より $y=\frac{\pi }{2}+n\pi$ の場合である。
このとき $\cos 2y=-1,\sin 2y=0$ を(1)の $u,v$ の式に代入する。

$$\begin{array}{rl}u& =\frac{\sinh 2}{\cosh 2-(-1)}=\frac{2\sinh 1\cosh 1}{2{\cosh }^{2}1}=\tanh 1\\ v& =\frac{0}{\cosh 2+1}=0\end{array}$$

よって、最大となる点の座標は

$$\boxed{(\tanh 1,0)}$$

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本题主要考查了复变函数中的共形映射以及解析函数的基本性质。在第一部分中，通过利用双曲函数的复数展开公式，将双曲余切映射分解为实部和虚部的参数方程。为了求出常数坐标线在映射后的轨迹，利用三角恒等式消去参数，成功推导出了两组相互正交的圆族方程。通过方程特征可以得知，这两组曲线在复平面上分别对应非相交的阿波罗尼斯圆束和经过固定点的共轴圆束。第二部分巧妙地结合了柯西黎曼方程，将实函数的梯度计算直接转化为解析函数反函数的导数模长。这一转换极大地简化了偏导数的计算过程，反映了复分析与多元微积分之间的深刻联系。最后利用三角函数的有界性即可轻松确定梯度的最大值，并将临界条件代回原参数方程求解出具体的实平面坐标。