0414-1982 东大工 数学 WEB

常微分方程 微分积分

以下の問題において、${}^{\prime }$ は $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$、 ${}^{\prime \prime }$ は $\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}$ を表すものとする。

(1) 線型微分方程式

$$P_0(x)y^{\prime \prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y=0$$

が完全微分形、すなわち

$$P_0(x)y^{\prime \prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y\equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}Q(x,y(x),y^{\prime }(x))=0$$

となるための十分条件は、

$$P_0^{\prime \prime }(x)-P_1^{\prime }(x)+P_2(x)=0(\text{t})$$

であることを示せ。

(2) (1)における式(t)の条件は必要条件でもあることを示せ。

(3) 次の微分方程式

$$x(x+1)y^{\prime \prime }+4(x+1)y^{\prime }+2y=0$$

を初期条件

$$x=-\frac{3}{2}\text{のとき; }y=1,y^{\prime }=0$$

のもとで解け。

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解答：

(1)
条件 $P_0^{\prime \prime }(x)-P_1^{\prime }(x)+P_2(x)=0$ が成り立つと仮定する。
線型微分方程式の左辺を変形する。

$$\begin{array}{rl}{P}_0(x)y^{\prime \prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y& =(P_0(x)y^{\prime }{)}^{\prime }-P_0^{\prime }(x)y^{\prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y\\ & =(P_0(x)y^{\prime }{)}^{\prime }+(P_1(x)-P_0^{\prime }(x))y^{\prime }+P_2(x)y\\ & =(P_0(x)y^{\prime }{)}^{\prime }+((P_1(x)-P_0^{\prime }(x))y{)}^{\prime }-(P_1^{\prime }(x)-P_0^{\prime \prime }(x))y+P_2(x)y\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{P_0(x)y^{\prime }+(P_1(x)-P_0^{\prime }(x))y\}+(P_0^{\prime \prime }(x)-P_1^{\prime }(x)+P_2(x))y\end{array}$$

仮定より $P_0^{\prime \prime }(x)-P_1^{\prime }(x)+P_2(x)=0$ であるから、

$$P_0(x)y^{\prime \prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{P_0(x)y^{\prime }+(P_1(x)-P_0^{\prime }(x))y\}=0$$

となり、$Q(x,y,y^{\prime })=P_0(x)y^{\prime }+(P_1(x)-P_0^{\prime }(x))y$ とおけば完全微分形となる。したがって、十分条件である。(証明終)

(2)
方程式が完全微分形であると仮定すると、ある関数 $Q(x,y,y^{\prime })$ が存在して任意の $y(x)$ に対して以下が恒等的に成り立つ。

$$P_0(x)y^{\prime \prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}Q(x,y,y^{\prime })$$

連鎖律より、全導関数を展開する。

$$P_0(x)y^{\prime \prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y=\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}{y}^{\prime }+\frac{\partial Q}{\partial y^{\prime }}{y}^{\prime \prime }$$

両辺の $y^{\prime \prime }$ の係数を比較すると、

$$\frac{\partial Q}{\partial y^{\prime }}=P_0(x)⟹Q(x,y,y^{\prime })=P_0(x)y^{\prime }+R(x,y)$$

この $Q$ を $x$ で微分すると、

$$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x}=P_0^{\prime }(x)y^{\prime }+P_0(x)y^{\prime \prime }+\frac{\partial R}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial y}{y}^{\prime }$$

これを元の恒等式に代入し、$P_0(x)y^{\prime \prime }$ を消去すると、

$$P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y=\left(P_0^{\prime }(x)+\frac{\partial R}{\partial y}\right)y^{\prime }+\frac{\partial R}{\partial x}$$

$y^{\prime }$ の係数を比較すると、

$$P_1(x)=P_0^{\prime }(x)+\frac{\partial R}{\partial y}⟹\frac{\partial R}{\partial y}=P_1(x)-P_0^{\prime }(x)$$

これを $y$ について積分すると、

$$R(x,y)=(P_1(x)-P_0^{\prime }(x))y+S(x)$$

この $R$ を $x$ で偏微分すると、

$$\frac{\partial R}{\partial x}=(P_1^{\prime }(x)-P_0^{\prime \prime }(x))y+S^{\prime }(x)$$

残りの項を比較すると、

$$P_2(x)y=(P_1^{\prime }(x)-P_0^{\prime \prime }(x))y+S^{\prime }(x)$$

これが任意の $y$ について成り立つためには、

$$P_2(x)=P_1^{\prime }(x)-P_0^{\prime \prime }(x)⟹P_0^{\prime \prime }(x)-P_1^{\prime }(x)+P_2(x)=0$$

および $S^{\prime }(x)=0$ が必要である。ゆえに式(t)は必要条件でもある。(証明終)

(3)
与式について $P_0(x)=x(x+1)=x^2+x$, $P_1(x)=4(x+1)=4x+4$, $P_2(x)=2$ とすると、

$$P_0^{\prime \prime }(x)-P_1^{\prime }(x)+P_2(x)=2-4+2=0$$

を満たすため、完全微分方程式である。
(1)の導出過程より、$Q(x,y,y^{\prime })=P_0(x)y^{\prime }+(P_1(x)-P_0^{\prime }(x))y$ であるから、

$$\begin{array}{rl}Q(x,y,y^{\prime })& =x(x+1)y^{\prime }+(4x+4-(2x+1))y\\ & =x(x+1)y^{\prime }+(2x+3)y\end{array}$$

したがって、与式は次のように書ける。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x(x+1)y^{\prime }+(2x+3)y\}=0$$

両辺を積分して、

$$x(x+1)y^{\prime }+(2x+3)y=C_1$$

初期条件 $x=-\frac{3}{2}$ のとき $y=1,y^{\prime }=0$ を代入する。

$$\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 0+\left(2\left(-\frac{3}{2}\right)+3\right)\cdot 1=C_1⟹C_1=0$$

よって、一階微分方程式は

$$x(x+1)y^{\prime }+(2x+3)y=0$$

変数分離法で解く。

$$\frac{\mathrm{d}y}{y}=-\frac{2x+3}{x(x+1)}\mathrm{d}x=-\left(\frac{3}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x$$

両辺を積分して、

$$\ln |y|=-3\ln |x|+\ln |x+1|+C_2=\ln \left|C_3\frac{x+1}{x^3}\right|$$ $$y=C_3\frac{x+1}{x^3}$$

初期条件 $x=-\frac{3}{2}$ のとき $y=1$ を代入する。

$$1=C_3\frac{-\frac{3}{2}+1}{{\left(-\frac{3}{2}\right)}^3}=C_3\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{27}{8}}=C_3\frac{4}{27}⟹C_3=\frac{27}{4}$$

ゆえに、求める解は

$$\boxed{y=\frac{27(x+1)}{4x^3}}$$

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本题考查了二阶线性常微分方程的恰当导数形式（完全微分形）的判定条件及其求解方法。

第一问和第二问要求推导并证明二阶线性常微分方程成为恰当方程的充要条件。证明过程中主要使用了分部积分法的思想（逆向使用乘积求导法则），将二阶导数项和一阶导数项逐步降阶，合并到全导数项中。在证明必要性时，通过假设存在函数 $Q$ 满足全微分形式，利用多元函数求导的链式法则展开，并通过比较系数得出待定项，从而严格且自然地证明了条件的必要性。

第三问是该理论的应用。首先验证给定的变系数线性微分方程满足恰当方程的判定条件，然后利用第一问推导出的全导数表达式直接将其降阶为一阶常微分方程。代入初值求出一阶微分方程的积分常数后，原问题化简为一个标准的一阶可分离变量微分方程。通过部分分式分解完成对 $x$ 的有理函数积分计算，最后再次代入初值条件确定最终的特解。