0413-1981 东大工 数学 WEB

复变函数 柯西黎曼方程 复积分 留数定理

複素数 $z=x+iy$ の正則関数の実部が $\frac{\sinh x}{\cosh x-\cos y}$ であらわせるとき、

(1) この正則関数を $f(z)$ の形で求めよ。

(2) 次に (1) で求めた $f(z)$ について ${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$ を計算せよ。積分路 $\mathrm{C}$ は $|z|=1$ の円周上を正の向きに一周するものとする。

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解答：

(1)
正則関数 $f(z)$ の実部を $u(x,y)=\frac{\sinh x}{\cosh x-\cos y}$ とおく。$x,y$ に関する偏微分を計算する。

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\cosh x(\cosh x-\cos y)-{\sinh }^{2}x}{(\cosh x-\cos y{)}^2}=\frac{1-\cosh x\cos y}{(\cosh x-\cos y{)}^2}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-\sinh x\sin y}{(\cosh x-\cos y{)}^2}$$

ミルン・トムソンの方法により、$f^{\prime }(z)$ は次のように表される。

$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z,0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(z,0)$$

代入して整理する。

$$f^{\prime }(z)=\frac{1-\cosh z\cos 0}{(\cosh z-\cos 0{)}^2}-i\cdot 0=\frac{1-\cosh z}{(\cosh z-1{)}^2}=\frac{-1}{\cosh z-1}=\frac{1}{1-\cosh z}$$

半角の公式 $\cosh z-1=2{\sinh }^2(z/2)$ を用いる。

$$f^{\prime }(z)=-\frac{1}{2{\sinh }^2(z/2)}$$

これを積分して $f(z)$ を求める。

$$f(z)=\int -\frac{1}{2{\sinh }^2(z/2)}\mathrm{d}z=\coth \left(\frac{z}{2}\right)+iC$$

ここで、$C$ は実定数である（関数全体の実部が $u(x,y)$ に等しくなるため、積分定数は純虚数となる）。

$$\boxed{f(z)=\coth \left(\frac{z}{2}\right)+iC(C\text{は実定数})}$$

(2)
(1) で求めた関数について積分を考える。

$${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\int }_C\left(\coth \left(\frac{z}{2}\right)+iC\right)\mathrm{d}z={\int }_C\frac{\cosh (z/2)}{\sinh (z/2)}\mathrm{d}z+{\int }_{C}iC\mathrm{d}z$$

$iC$ は複素平面全体で正則であるため、コーシーの積分定理より ${\int }_{C}iC\mathrm{d}z=0$ である。
$g(z)=\coth (z/2)$ について、積分路 $|z|=1$ の内部にある特異点は $\sinh (z/2)=0$ となる $z=0$ のみであり、これは1位の極である。
$z=0$ における留数を求める。

$$\mathrm{Res}(g,0)=\underset{z\to 0}{\lim }z\coth \left(\frac{z}{2}\right)=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{z/2}{\sinh (z/2)}\cdot 2\cosh \left(\frac{z}{2}\right)=1\cdot 2\cdot 1=2$$

留数定理より、求める積分値は以下のようになる。

$${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=2\pi i\mathrm{Res}(g,0)=4\pi i$$ $$\boxed{{\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=4\pi i}$$

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这道题考察了复变函数中的解析函数构造以及复曲线积分的计算。在第一问中，已知解析函数的实部求原函数，最直接高效的方法是使用米尔恩-汤姆森方法，即分别求出实部对x和y的偏导数后，代入复变量z和0即可得到导数关于z的表达式。由于计算过程中涉及到双曲函数的化简，利用双曲函数的半角公式能够快速将导函数写成便于直接积分的标准形式，需要注意最后的积分常数必须是纯虚数以保证原实部不变。第二问考察利用留数定理计算闭曲线积分，原函数中的纯虚数常数项由于是全平面解析的，在闭曲线上积分自然为零。另一项是含有双曲正弦分母的函数，在单位圆内仅有一个位于原点的一阶极点。通过极限性质或者洛必达法则直接计算出原点处的留数后，代入留数定理公式乘以两倍的圆周率与虚数单位即可得到最终的复积分值。