0412-1981 东大工 数学 WEB

常微分方程 无穷级数 待定系数法

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}_j}{\mathrm{d}{t}^2}-{{\alpha }_j}^2{x}_j=e^{-t}-2e^{-jt}$$

において、$j\ne {\alpha }_j$, ${\alpha }_j>1$、また、$t\ge 0$ とする。初期条件は $t=0$ において、

$$\frac{\mathrm{d}{x}_j}{\mathrm{d}t}=0,x_j=0$$

であり、$t=\infty$ において $x_j$ が発散しないものとする。また、$j$ は以上の条件を満足する任意の正の整数とする。以上の設問に答えよ。

(1) ${\alpha }_j$ と $j$ の関係を求めよ。
(2) $j$ の最小値 $J$ を求めよ。
(3) $x_j$ を $j$ と $t$ の関数として表せ。
(4) $F=\sum _{i=J}^{\infty }{x}_j$ を求めよ。

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解答：

(1)
与えられた微分方程式の一般解は、同次方程式の解と特解の和で表される。

$$x_j(t)=C_1{e}^{{\alpha }_{j}t}+C_2{e}^{-{\alpha }_{j}t}+A{e}^{-t}+B{e}^{-jt}$$

これを微分方程式に代入して係数を比較する。

$$A(1-{\alpha }_j^2)e^{-t}+B(j^2-{\alpha }_j^2)e^{-jt}=e^{-t}-2e^{-jt}$$

${\alpha }_j>1,j\ne {\alpha }_j$ より

$$A=\frac{1}{1-{\alpha }_j^2},B=\frac{-2}{j^2-{\alpha }_j^2}$$

$t=\infty$ で $x_j$ が発散しないため、${\alpha }_j>1$ より $e^{{\alpha }_{j}t}$ の係数は $C_1=0$ である。
したがって、

$$x_j(t)=C_2{e}^{-{\alpha }_{j}t}+\frac{1}{1-{\alpha }_j^2}{e}^{-t}-\frac{2}{j^2-{\alpha }_j^2}{e}^{-jt}$$

初期条件 $x_j(0)=0,x_j^{\prime }(0)=0$ より

$$\begin{array}{rl}{x}_j(0)& =C_2+\frac{1}{1-{\alpha }_j^2}-\frac{2}{j^2-{\alpha }_j^2}=0\\ x_j^{\prime }(0)& =-{\alpha }_j{C}_2-\frac{1}{1-{\alpha }_j^2}+\frac{2j}{j^2-{\alpha }_j^2}=0\end{array}$$

第1式より $C_2=-\frac{1}{1-{\alpha }_j^2}+\frac{2}{j^2-{\alpha }_j^2}$。これを第2式に代入する。

$$-{\alpha }_j\left(-\frac{1}{1-{\alpha }_j^2}+\frac{2}{j^2-{\alpha }_j^2}\right)-\frac{1}{1-{\alpha }_j^2}+\frac{2j}{j^2-{\alpha }_j^2}=0$$

整理すると、

$$\frac{{\alpha }_j-1}{1-{\alpha }_j^2}-\frac{2{\alpha }_j-2j}{j^2-{\alpha }_j^2}=0$$ $$-\frac{1}{1+{\alpha }_j}+\frac{2}{j+{\alpha }_j}=0$$

これより $2(1+{\alpha }_j)=j+{\alpha }_j$ となるため、

$$\boxed{{\alpha }_j=j-2}$$

(2)
$j$ は正の整数であり、${\alpha }_j>1$ の条件から

$$j-2>1⟹j>3$$

これを満たす最小の正の整数 $j$ が $J$ である。
（$j\ne {\alpha }_j⟹j\ne j-2$ は常に満たされる）

$$\boxed{J=4}$$

(3)
(1)の係数に ${\alpha }_j=j-2$ を代入する。

$$A=\frac{1}{1-(j-2{)}^2}=-\frac{1}{(j-1)(j-3)}$$ $$B=\frac{-2}{j^2-(j-2{)}^2}=-\frac{1}{2(j-1)}$$ $$\begin{array}{rl}{C}_2& =-A-B=\frac{1}{(j-1)(j-3)}+\frac{1}{2(j-1)}\\ & =\frac{2+(j-3)}{2(j-1)(j-3)}=\frac{1}{2(j-3)}\end{array}$$

よって、$x_j(t)$ は次のように表される。

$$\boxed{x_j(t)=\frac{1}{2(j-3)}{e}^{-(j-2)t}-\frac{1}{(j-1)(j-3)}{e}^{-t}-\frac{1}{2(j-1)}{e}^{-jt}}$$

(4)
（題意より和の添字 $i=J$ は $j=J$ の誤植として扱う）
$F=\sum _{j=4}^{\infty }{x}_j$ を計算する。

$$F=\sum _{j=4}^{\infty }\frac{1}{2(j-3)}{e}^{-(j-2)t}-\sum _{j=4}^{\infty }\frac{1}{(j-1)(j-3)}{e}^{-t}-\sum _{j=4}^{\infty }\frac{1}{2(j-1)}{e}^{-jt}$$

第1項の和において $k=j-2$ とおき、第3項の和において $k=j$ とおくと、

$$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{2(k-1)}{e}^{-kt}-\sum _{k=4}^{\infty }\frac{1}{2(k-1)}{e}^{-kt}=\frac{1}{2(1)}{e}^{-2t}+\frac{1}{2(2)}{e}^{-3t}=\frac{1}{2}{e}^{-2t}+\frac{1}{4}{e}^{-3t}$$

第2項の係数部分は部分分数分解を用いて計算する。

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=4}^{\infty }\frac{1}{(j-1)(j-3)}& =\frac{1}{2}\sum _{j=4}^{\infty }\left(\frac{1}{j-3}-\frac{1}{j-1}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots \right)\\ & =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\end{array}$$

したがって、これらを合わせて

$$\boxed{F=\frac{1}{2}{e}^{-2t}+\frac{1}{4}{e}^{-3t}-\frac{3}{4}{e}^{-t}}$$

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本题主要考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解以及无穷级数的求和方法。第一问中，首先根据特征方程写出齐次通解，结合非齐次项的形式使用待定系数法求出特解。利用无穷远处不发散的边界条件可直接排除指数增长项（令对应系数为零），再代入两个初始条件即可建立方程组，解出各项系数并得到参数间的关系式。第二问通过参数需满足的不等式条件，直接求出正整数的最小值。第三问将第一问求得的关系式代入原解的系数中进行化简即可。第四问在求和时，观察到第一项和第三项的结构高度相似，可以通过平移求和指标产生大量相消，从而提取出无法抵消的前两项；中间第二项则可通过裂项相消法（错位相减）计算出常数级数的和，最终得到一个不含无穷级数的闭式函数解。注意原题中第四问求和符号下方的变量 $i$ 显然为 $j$ 的印刷错误，解答时需按 $j$ 处理。