原点を中心とする半径 の球面 、原点からの距離 の点 がある。ただし、 とする。
(1) を通る直線が と交わるために、その直線の方向余弦 が満足するべき式を示せ。
(2) から にひいて接線の集合は円錐面となる。この円錐面の方程式を を用いて の形に表せ。
解答：
(1)
方向余弦の定義より、次の関係が成り立つ。
点 を通り、方向余弦が の直線上の任意の点は、媒介変数 を用いて次のように表される。
この直線が球面 と交わるため、直線上の点を球面の方程式に代入する。
これを について整理する。
ここで、 および点 と原点の距離の条件 を用いると、方程式は次のように簡略化される。
直線と球面が交わるためには、この についての2次方程式が少なくとも1つの実数解をもつ必要がある。判別式を とすると、 より、
(2)
直線が球面に接する場合、(1)における2次方程式は重解をもつため、判別式は となる。
円錐面上の任意の点 （ただし を除く）と を結ぶ母線の方向ベクトルは である。その方向余弦 はこれに比例するため、
と表すことができる。これを接線の条件式に代入する。
分母を右辺に払い、展開して整理していく。
両辺に を加えることで、完全平方式と因数分解の形にまとめる。
したがって、 の形に表した求める円錐面の方程式は、
本题考查了空间解析几何中直线与球面相交及相切的条件，以及二次曲面外切锥面方程的推导。第一问利用直线的方向余弦参数方程代入球面方程，从而将几何相交问题转化为关于参数的一元二次方程有解的问题。利用根的判别式大于等于零即可得出直线与球面相交的代数条件，需要注意方向余弦的平方和为一这一基础性质。第二问在第一问的基础上，将相切的条件（即判别式等于零）转化为空间动点的坐标方程。将切线锥面上的点到顶点的向量进行单位化后代入相切条件，经过适当的代数变形与配方，可以得到非常对称的结果。化简后的形式实际上对应了高等几何中二次曲面外切锥面的标准方程公式 ，其中 表示球面自身， 是将点P坐标代入球面的值， 是点P对应的极平面方程，掌握这一普适结论能够帮助快速梳理推导过程并检验最终结果的正确性。