0410-1981 东大工 数学 WEB

线性代数 马尔可夫链 特征值与特征向量

$n$ 次の正方行列 $A=[a_{ij}]$ において、$a_{ij}>0$, $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=1(i=1,2,\cdots ,n)$ であるとき、下の問いに答えよ。

(1) $A$ の固有値のひとつは $1$ であることを示せ。

(2) $B=A^m$ ($m$ は正の整数) とするとき、$A$ が $n=2$ の場合に対して、$\underset{m\to \infty }{\lim }B$ を求めよ。

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解答：

(1)
すべての成分が $1$ である $n$ 次元列ベクトルを $\mathbf{x}={\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]}^T$ とおく。
行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ の積 $A\mathbf{x}$ の第 $i$ 成分は、

$$(A\mathbf{x}{)}_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot 1=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=1$$

となる。したがって $A\mathbf{x}=\mathbf{x}$ が成り立つ。
$\mathbf{x}\ne 0$ であるから、定義より $\lambda =1$ は行列 $A$ の固有値である。
(証明終)

(2)
$n=2$ の場合、条件より $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ において $a_{11}+a_{12}=1$、$a_{21}+a_{22}=1$、$a_{ij}>0$ である。
$A$ の固有方程式は、

$$\begin{array}{rl}\det (A-\lambda I)& ={\lambda }^2-(a_{11}+a_{22})\lambda +(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})\\ & ={\lambda }^2-(a_{11}+a_{22})\lambda +a_{11}{a}_{22}-(1-a_{11})(1-a_{22})\\ & ={\lambda }^2-(a_{11}+a_{22})\lambda +(a_{11}+a_{22}-1)\\ & =(\lambda -1)(\lambda -(a_{11}+a_{22}-1))=0\end{array}$$

固有値は ${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=a_{11}+a_{22}-1$ である。
$a_{11}=1-a_{12}$, $a_{22}=1-a_{21}$ より ${\lambda }_2=1-(a_{12}+a_{21})$ とも表せ、$a_{12},a_{21}\in (0,1)$ であるため $-1<{\lambda }_2<1$ である。

${\lambda }_1=1$ に対する固有ベクトル ${\mathbf{p}}_1$ は、(1) より ${\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ ととれる。
${\lambda }_2$ に対する固有ベクトル ${\mathbf{p}}_2$ は、

$$(A-{\lambda }_{2}I){\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{cc}1-a_{22}& a_{12}\\ a_{21}& 1-a_{11}\end{array}\right]{\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{12}\\ a_{21}& a_{12}\end{array}\right]{\mathbf{p}}_2=0$$

を満たすので、${\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ -a_{21}\end{array}\right]$ ととれる。

正則行列 $P=[{\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2]=\left[\begin{array}{cc}1& a_{12}\\ 1& -a_{21}\end{array}\right]$ を用いる。$\det P=-(a_{12}+a_{21})\ne 0$ であり、

$$P^{-1}=\frac{-1}{a_{12}+a_{21}}\left[\begin{array}{cc}-a_{21}& -a_{12}\\ -1& 1\end{array}\right]=\frac{1}{a_{12}+a_{21}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{12}\\ 1& -1\end{array}\right]$$

となる。$A=P\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]P^{-1}$ と対角化でき、$B=A^m=P\left[\begin{array}{cc}{1}^m& 0\\ 0& {\lambda }_2^m\end{array}\right]P^{-1}$ となる。
ここで $m\to \infty$ のとき、$|{\lambda }_2|<1$ であるから ${\lambda }_2^m\to 0$ となる。

$$\begin{array}{rl}\underset{m\to \infty }{\lim }B& =P\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]P^{-1}\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& a_{12}\\ 1& -a_{21}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\frac{1}{a_{12}+a_{21}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{12}\\ 1& -1\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{a_{12}+a_{21}}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{12}\\ 1& -1\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{a_{12}+a_{21}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{12}\\ a_{21}& a_{12}\end{array}\right]\end{array}$$ $$\boxed{\underset{m\to \infty }{\lim }B=\frac{1}{a_{12}+a_{21}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{12}\\ a_{21}& a_{12}\end{array}\right]}$$

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本题涉及的矩阵实际上是概率论中的马尔可夫转移矩阵（行随机矩阵）。第一问利用转移矩阵每行元素之和等于一的性质，直接构造所有元素皆为一的列向量即可证明其必然存在特征值一。在第二问中，对于二阶方阵的情况进行求解，同样利用了行和为一及所有元素为正的条件，得出该矩阵的两个特征值，其中一个为一，另一个的绝对值严格小于一。将其对角化后计算高次幂的极限时，绝对值小于一的特征值对应的高次幂项趋近于零。最终极限矩阵的存在反映了马尔可夫链的稳态分布，其结果矩阵的行向量完全相同，说明无论初始状态如何，系统经过无限次状态转移后会趋向于同一个固定的概率分布。