0409-1981 东大工 数学 WEB

常微分方程 变分法 近似解

$y(0)=y(1)=0$ の境界条件のもとで

$$x^4\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+4x^3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4e^{-x}$$

という常微分方程式の近似解を変分法を用いて求めることを考える。$L$ を微分演算子、$(,)$ を与えられた領域についての内積とすると、斉次境界条件を有するときの微分方程式 $Ly=g$ の2次汎関数 $\Pi$ は

$$\Pi (y)=(Ly,y)-2(y,g)$$

で与えられる。

(1) 上記微分方程式の2次汎関数 $\Pi$ を求めよ。
(2) 近似解を $y=cx(1-x)$ とするとき、$e\approx 2.72$ として未定定数 $c$ の値を計算せよ。
(3) 上記微分方程式の微分演算子は定値性をもつことを示せ。

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解答：

(1)
与えられた常微分方程式は、以下のように書き換えることができる。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=4e^{-x}$$

微分演算子を $Ly=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)$、右辺を $g(x)=4e^{-x}$ とおく。
内積の定義より、2次汎関数 $\Pi (y)$ は

$$\begin{array}{rl}\Pi (y)& =(Ly,y)-2(y,g)\\ & ={\int }_0^{1}y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x-2{\int }_0^{1}y(4e^{-x})\mathrm{d}x\end{array}$$

第1項に部分積分を適用する。

$${\int }_0^{1}y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x={\left[x^{4}y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]}_0^1-{\int }_0^1{x}^4{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2\mathrm{d}x$$

境界条件 $y(0)=y(1)=0$ より、境界項 ${\left[x^{4}y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]}_0^1$ は $0$ となる。したがって、

$$\boxed{\Pi (y)=-{\int }_0^1{x}^4{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2\mathrm{d}x-8{\int }_0^{1}y{e}^{-x}\mathrm{d}x}$$

(2)
試行関数 $y=cx(1-x)$ に対して、$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=c(1-2x)$ である。これらを (1) で求めた $\Pi (y)$ に代入する。

$$\begin{array}{rl}\Pi (c)& =-{\int }_0^1{x}^4{c}^2(1-2x{)}^2\mathrm{d}x-8{\int }_0^{1}c(x-x^2)e^{-x}\mathrm{d}x\\ & =-c^2{\int }_0^1(x^4-4x^5+4x^6)\mathrm{d}x-8c{\int }_0^1(x-x^2)e^{-x}\mathrm{d}x\end{array}$$

各積分を計算する。

$${\int }_0^1(x^4-4x^5+4x^6)\mathrm{d}x=\frac{1}{5}-\frac{4}{6}+\frac{4}{7}=\frac{11}{105}$$

部分積分を繰り返し用いて、

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(x-x^2)e^{-x}\mathrm{d}x& ={\left[-(x-x^2)e^{-x}\right]}_0^1+{\int }_0^1(1-2x)e^{-x}\mathrm{d}x\\ & =0+{\left[-(1-2x)e^{-x}\right]}_0^1-{\int }_0^{1}2e^{-x}\mathrm{d}x\\ & =(e^{-1}+1)+{\left[2e^{-x}\right]}_0^1\\ & =e^{-1}+1+2e^{-1}-2=3e^{-1}-1\end{array}$$

したがって、汎関数は $c$ の2次関数となる。

$$\Pi (c)=-\frac{11}{105}{c}^2-8(3e^{-1}-1)c$$

停留条件 $\frac{\mathrm{d}\Pi }{\mathrm{d}c}=0$ より、

$$-\frac{22}{105}c-8(3e^{-1}-1)=0$$

$e\approx 2.72$ を代入して定数 $c$ を解く。

$$\begin{array}{rl}c& =-\frac{420}{11}\left(\frac{3}{2.72}-1\right)\\ & =-\frac{420}{11}\left(\frac{300-272}{272}\right)\\ & =-\frac{420}{11}\left(\frac{28}{272}\right)=-\frac{420}{11}\left(\frac{7}{68}\right)=-\frac{105\cdot 7}{11\cdot 17}=-\frac{735}{187}\end{array}$$ $$\boxed{c=-\frac{735}{187}}$$

(3)
任意の $y$（ただし境界条件 $y(0)=y(1)=0$ を満たし、$y\not\equiv 0$）に対して、内積 $(Ly,y)$ を評価する。
(1) の計算と同様に部分積分を用いると、

$$(Ly,y)={\int }_0^{1}y\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x={\left[x^{4}y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]}_0^1-{\int }_0^1{x}^4{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2\mathrm{d}x$$

境界条件より第1項は $0$ であるから、

$$(Ly,y)=-{\int }_0^1{x}^4{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2\mathrm{d}x$$

積分区間 $(0,1)$ において常に $x^4>0$ であり、連続関数 $y\not\equiv 0$ に対しては $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\not\equiv 0$ であるため、積分値は正となる。

$${\int }_0^1{x}^4{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2\mathrm{d}x>0$$

よって、

$$(Ly,y)<0$$

以上より、任意の非零関数 $y$ に対して $(Ly,y)<0$ が成り立つため、この微分演算子 $L$ は（負の）定値性をもつ。
(証明終)

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本题考查了常微分方程的变分法求解以及微分算子的定值性证明。解答第一问时，首先需要观察给定的常微分方程，将其化为自伴随形式，从而识别出对应的微分算子和右端项。利用内积定义和分部积分法，结合给定的齐次边界条件，可以消去边界项并求出二次泛函的具体积分表达式。在第二问的近似求解中，采用了瑞利-里兹方法，将给定的试探函数代入第一问求得的泛函中，把泛函的极值问题转化为关于待定系数的普通函数极值问题。通过对系数求导并令导数为零，结合题目给出的自然对数底数的近似值，即可求得最优的待定系数。第三问要求证明微分算子的定值性，其实质是要求证明对应的二次型是否具有确定的符号，利用第一问推导出的内积表达式及被积函数的非负性，即可严格论证该微分算子是负定的。