0408-1981 东大工 数学 WEB

常微分方程 概率统计 傅里叶与拉普拉斯变换 随机过程

以下の問題では ${}^{\prime }$ は $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$、${}^{\prime \prime }$ は $\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}$ とする。

(1) 常微分方程式

$$x^{\prime \prime }(t)+k^{2}x(t)=f(t)(t\ge 0)$$

の初期条件

$$x(0)=0,x^{\prime }(0)=0$$

のもとでの解は

$$x(t)=\frac{1}{k}{\int }_0^t\sin k(t-s)f(s)\mathrm{d}s$$

であることを示せ。ただし $k$ は正定数である。

(2) 確率微分方程式

$$X^{\prime \prime }(t)+k^{2}X(t)=W^{\prime }(t)(t\ge 0)$$

を初期条件

$$X(0)=0,X^{\prime }(0)=0$$

のもとで解け。
ただし $W(t)$ は

$$E\left[W^{\prime }(t)W^{\prime }(s)\right]={\sigma }^2\delta (t-s)$$

を満足する不規則過程である。ここで $\sigma$ は正定数、$E[]$ は期待値をとる記号である。また $\delta (t)$ は Dirac の $\delta$ 関数であり、$t=0$ で連続な任意の関数 $\phi (t)$ に対し、$t=0$ を含む積分領域で

$$\int \phi (t)\delta (t)\mathrm{d}t=\phi (0)$$

を満足する。

(3) 平均値が $0$ の場合の分散

$$V[X(t)]\equiv E\left[(X(t){)}^2\right]$$

を求めよ。

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解答：

(1)

$$x^{\prime \prime }(t)+k^{2}x(t)=f(t)$$

両辺をラプラス変換する。

$$\mathcal{L}[x(t)]=X(s),\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$$

初期条件 $x(0)=0,x^{\prime }(0)=0$ を用いると、

$$s^{2}X(s)+k^{2}X(s)=F(s)$$ $$X(s)=\frac{1}{s^2+k^2}F(s)$$

逆ラプラス変換を求める。

$${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s^2+k^2}\right]=\frac{1}{k}\sin kt$$

合成積（畳み込み）の定理より、

$$x(t)={\int }_0^t\frac{1}{k}\sin k(t-s)f(s)\mathrm{d}s$$

(証明終)

(2)
(1)の微分方程式における $x(t)$ を $X(t)$ に、$f(t)$ を $W^{\prime }(t)$ に置き換えると、与えられた確率微分方程式に一致する。
初期条件も等しいため、(1)の解の公式を適用できる。

$$\boxed{X(t)=\frac{1}{k}{\int }_0^t\sin k(t-s)W^{\prime }(s)\mathrm{d}s}$$

(3)
(2)の結果より、

$$(X(t){)}^2=\left(\frac{1}{k}{\int }_0^t\sin k(t-u)W^{\prime }(u)\mathrm{d}u\right)\left(\frac{1}{k}{\int }_0^t\sin k(t-v)W^{\prime }(v)\mathrm{d}v\right)$$ $$(X(t){)}^2=\frac{1}{k^2}{\int }_0^t{\int }_0^t\sin k(t-u)\sin k(t-v)W^{\prime }(u)W^{\prime }(v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

両辺の期待値をとる。

$$\begin{array}{rl}V[X(t)]& =E\left[(X(t){)}^2\right]\\ & =\frac{1}{k^2}{\int }_0^t{\int }_0^t\sin k(t-u)\sin k(t-v)E\left[W^{\prime }(u)W^{\prime }(v)\right]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$

条件 $E\left[W^{\prime }(u)W^{\prime }(v)\right]={\sigma }^2\delta (u-v)$ を代入する。

$$V[X(t)]=\frac{{\sigma }^2}{k^2}{\int }_0^t{\int }_0^t\sin k(t-u)\sin k(t-v)\delta (u-v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

デルタ関数の性質により $v$ について積分する。

$$V[X(t)]=\frac{{\sigma }^2}{k^2}{\int }_0^t{\sin }^{2}k(t-u)\mathrm{d}u$$

半角の公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ を用いる。

$$\begin{array}{rl}V[X(t)]& =\frac{{\sigma }^2}{k^2}{\int }_0^t\frac{1-\cos 2k(t-u)}{2}\mathrm{d}u\\ & =\frac{{\sigma }^2}{2k^2}{\left[u+\frac{1}{2k}\sin 2k(t-u)\right]}_0^t\\ & =\frac{{\sigma }^2}{2k^2}\left(t-\frac{1}{2k}\sin 2kt\right)\end{array}$$ $$\boxed{V[X(t)]=\frac{{\sigma }^2}{4k^3}\left(2kt-\sin 2kt\right)}$$

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本题第一部分主要考察了常系数线性常微分方程的求解，这里使用了拉普拉斯变换的方法将其转换到频域代数方程，利用初始条件解出因变量后再通过拉普拉斯逆变换和卷积定理即可证明结论，此过程也可以使用常数变易法进行求解。第二部分考察将确定的外力项推广至随机过程情形，由于微分算子和初始条件完全一致，直接代换外力项即可得到对应的随机积分形式的解。第三部分考察随机过程方差的计算，将第二部分所得解自乘并取数学期望，将期望算子与积分互换位置后，代入题目给出的白噪声自相关函数的狄拉克函数形式进行双重积分，利用狄拉克函数的筛选性质即可消去一重积分，最后通过简单的三角函数降幂公式进行定积分即可得到随机过程的方差。