0407-1980 东大工 数学 WEB

微分积分 级数求和 近似计算 误差估计

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$ であることを用いて $\pi$ の値を計算したい。

(1) $\frac{{\pi }^2}{6}$ と左辺の第 $n$ 項までの和 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ との差は $\frac{1}{n+0.5}$ 程度であることを示せ。

(2) 左辺の第 $n$ 項までの和 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ で近似して、$\pi$ の値を誤差 $1\%$ 程度で求めるには、$n$ をいくらに選べばよいか。(1) に示したことを用いて計算せよ。

(3) 左辺を $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}+\frac{1}{n+0.5}$ で近似した場合の、$\frac{{\pi }^2}{6}$ との差はどの程度か。

(4) (3) の結果を用いて $\pi$ の値を誤差 $0.01\%$ 以内で求めるために必要な $n$ の最小値はいくらか。

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解答：

(1)
$\frac{{\pi }^2}{6}$ と左辺の第 $n$ 項までの和の差を $R_n$ とおくと、

$$R_n=\frac{{\pi }^2}{6}-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$$

ここで、十分大きな $k$ に対して $\frac{1}{k^2}\approx \frac{1}{k^2-0.25}$ と近似し、部分分数分解を行うと、

$$\frac{1}{k^2-0.25}=\frac{1}{(k-0.5)(k+0.5)}=\frac{1}{k-0.5}-\frac{1}{k+0.5}$$

これを $R_n$ の式に代入して和を計算すると、隣り合う項が相殺される。

$$\begin{array}{rl}{R}_n& \approx \sum _{k=n+1}^{\infty }\left(\frac{1}{k-0.5}-\frac{1}{k+0.5}\right)\\ & =\left(\frac{1}{n+0.5}-\frac{1}{n+1.5}\right)+\left(\frac{1}{n+1.5}-\frac{1}{n+2.5}\right)+\cdots \\ & =\frac{1}{n+0.5}\end{array}$$

ゆえに、差は $\frac{1}{n+0.5}$ 程度である。(証明終)

(2)
(1) の和の近似による $\pi$ の計算値を ${\pi }_n$ とすると、$\frac{{\pi }_n^2}{6}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ である。
(1) の結果より、

$$\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{{\pi }_n^2}{6}\approx \frac{1}{n+0.5}⟹{\pi }^2-{\pi }_n^2\approx \frac{6}{n+0.5}$$

$\pi \approx {\pi }_n$ より ${\pi }^2-{\pi }_n^2=(\pi -{\pi }_n)(\pi +{\pi }_n)\approx 2\pi (\pi -{\pi }_n)$ であるため、

$$\pi -{\pi }_n\approx \frac{3}{\pi (n+0.5)}$$

相対誤差が $1\%$ ($0.01$) 程度になるように $n$ を設定する。

$$\frac{\pi -{\pi }_n}{\pi }\approx \frac{3}{{\pi }^2(n+0.5)}\approx 0.01$$

${\pi }^2\approx 9.87$ を用いて計算すると、

$$n+0.5\approx \frac{300}{{\pi }^2}\approx \frac{300}{9.87}\approx 30.4$$

したがって、選ぶべき $n$ の値は、

$$\boxed{n\approx 30}$$

(3)
新たな近似の誤差を $E_n$ とおくと、(1) での近似過程の差分として次のように表される。

$$\begin{array}{rl}{E}_n& =\frac{{\pi }^2}{6}-\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}+\frac{1}{n+0.5}\right)\\ & =\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{k^2}-\sum _{k=n+1}^{\infty }\left(\frac{1}{k-0.5}-\frac{1}{k+0.5}\right)\\ & =\sum _{k=n+1}^{\infty }\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{k^2-0.25}\right)\\ & =\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{-0.25}{k^2(k^2-0.25)}\end{array}$$

$k$ が十分に大きいとき $\frac{-0.25}{k^2(k^2-0.25)}\approx -\frac{1}{4k^4}$ と近似できる。積分でこの無限級数を近似評価すると、

$$E_n\approx -\frac{1}{4}{\int }_{n+0.5}^{\infty }\frac{1}{x^4}dx=-\frac{1}{4}{\left[-\frac{1}{3x^3}\right]}_{n+0.5}^{\infty }=-\frac{1}{12(n+0.5{)}^3}$$

したがって、差の程度は

$$\boxed{-\frac{1}{12(n+0.5{)}^3}}$$

(4)
(3) の結果による新たな近似値を ${\pi }_n^{\prime }$ とすると、(2) と同様の近似変形により

$$\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{{{\pi }_n^{\prime }}^2}{6}\approx -\frac{1}{12(n+0.5{)}^3}⟹{\pi }^2-{{\pi }_n^{\prime }}^2\approx -\frac{1}{2(n+0.5{)}^3}$$ $$\pi -{\pi }_n^{\prime }\approx -\frac{1}{4\pi (n+0.5{)}^3}$$

相対誤差の大きさが $0.01\%$ ($10^{-4}$) 以内となる条件を立てる。

$$\left|\frac{\pi -{\pi }_n^{\prime }}{\pi }\right|\approx \frac{1}{4{\pi }^2(n+0.5{)}^3}\le 10^{-4}$$ $$(n+0.5{)}^3\ge \frac{10000}{4{\pi }^2}=\frac{2500}{{\pi }^2}\approx \frac{2500}{9.8696}\approx 253.3$$

整数 $n$ について検証すると、
$n=5$ のとき $(5+0.5{)}^3=166.375<253.3$
$n=6$ のとき $(6+0.5{)}^3=274.625>253.3$
したがって、条件を満たす最小の整数 $n$ は、

$$\boxed{n=6}$$

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本题考查了巴塞尔问题级数求和的收敛速度及其误差估计原理。直接使用前n项和逼近精确值时，其截断误差级别为阶数的一次方倒数，收敛极其缓慢，正如第二问算出的那样，要达到百分之一的精度居然需要计算三十项之多。第一问巧妙地利用了差分放缩法则，引入一个相近且可裂项相消的级数，不仅直观地证明了截断误差的主要部分，还顺势提取出了误差的主导项。在第三问中，通过将这一求出的主导项补偿回原级数估计值之中，相当于进行了一次级数加速求和，将原本一阶的截断误差直接缩减至阶数的三次方倒数级别。由于误差的高阶断崖式下降，在第四问的计算中仅需展开前六项即可直接达到万分之一的极高理论精度，这种误差分析与代数补偿的思想在工程计算和数值近似分析中非常具有实践意义。