点 O を中心として、半径 を の範囲からランダムに、しかも独立に選択し、3 個の同心円を描くものとする。
(1) 3 個の同心円のうち、最大半径を持つ円の面積の期待値を求めよ。
(2) 3 個の同心円のうち、最小半径を持つ円の面積の期待値を求めよ。
解答：
確率変数 は互いに独立で、区間 上の一様分布に従う。その確率密度関数 と累積分布関数 は、 において次のように表される。
(1)
最大半径を とおく。 の累積分布関数 は、 において、
の確率密度関数 は、
最大半径を持つ円の面積 の期待値 は、
したがって、求める期待値は、
(2)
最小半径を とおく。 の累積分布関数 は、 において、
の確率密度関数 は、
最小半径を持つ円の面積 の期待値 は、
したがって、求める期待値は、
这道题主要考察了概率论中的次序统计量及其期望的计算。题目中指出三个半径是从区间0到1中随机且独立抽取的，这意味着它们服从该区间上的连续型均匀分布。对于第一问，要求最大半径对应的圆面积期望，首先需要求出最大半径这个次序统计量的概率密度函数。根据独立同分布随机变量最大值的分布律，它的累积分布函数是原分布累积分布函数的三次方，求导后即可得到概率密度函数。然后利用期望的定义，将圆的面积公式与该概率密度函数相乘并在0到1上进行定积分，就能顺利算出结果。第二问的思路完全相同，只是目标变成了最小半径。最小半径的分布需要利用对立事件来求解，即三个半径都大于某一数值的概率，推导出其累积分布函数后再求导得到密度函数。之后同样利用期望的积分公式，展开多项式进行简单的积分计算，就可以得出最小圆面积的期望值。