0405-1980 东大工 数学 WEB

向量分析 空间几何 极值问题

1つの頂点から出る3辺の長さが等しい四面体の中で、最大の体積を有するものの形とその体積の値とを求めよ。さらに、この体積最大の四面体に外接する球の半径を求めよ。ただし、等しい3辺の長さを $R$ とする。

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解答：

1つの頂点を原点 $\mathrm{O}$ とし、そこから出る3辺のベクトルを $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ とする。条件より、

$$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=R$$

四面体の体積 $V$ はスカラー三重積を用いて次のように表される。

$$V=\frac{1}{6}|(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}|$$

ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角を $\theta$、ベクトル $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ のなす角を $\varphi$ とすると、

$$V=\frac{1}{6}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta |\mathbf{c}||\cos \varphi |=\frac{1}{6}{R}^3\sin \theta |\cos \varphi |$$

$0\le \sin \theta \le 1,0\le |\cos \varphi |\le 1$ より、体積 $V$ は $\sin \theta =1$ かつ $|\cos \varphi |=1$ のとき最大値をとる。
このとき、$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ かつ $\mathbf{c}\parallel (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$ となり、ベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ は互いに直交する。
したがって、形は「1つの頂点から出る3辺が互いに直交する四面体」であり、最大の体積は以下となる。

$$V_{\max }=\frac{R^3}{6}$$

最大体積の四面体の頂点を空間座標上に $\mathrm{O}(0,0,0),\mathrm{A}(R,0,0),\mathrm{B}(0,R,0),\mathrm{C}(0,0,R)$ と設定する。
外接球の中心を $\mathrm{P}(x,y,z)$、半径を $r$ とすると、$\mathrm{PO}=\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=r$ より、

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+z^2& =r^2\\ (x-R{)}^2+y^2+z^2& =r^2\\ x^2+(y-R{)}^2+z^2& =r^2\\ x^2+y^2+(z-R{)}^2& =r^2\end{array}$$

第1式と第2式より $x=\frac{R}{2}$ が得られ、同様に $y=\frac{R}{2},z=\frac{R}{2}$ となる。
中心は $\left(\frac{R}{2},\frac{R}{2},\frac{R}{2}\right)$ となり、半径 $r$ は、

$$r=\sqrt{{\left(\frac{R}{2}\right)}^2+{\left(\frac{R}{2}\right)}^2+{\left(\frac{R}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$$

よって、

$$\boxed{\begin{array}{rl}\text{形}& :\text{1つの頂点から出る3辺が互いに直交する四面体}\\ \text{体積}& :\frac{R^3}{6}\\ \text{半径}& :\frac{\sqrt{3}}{2}R\end{array}}$$

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本题主要考查了空间几何中四面体体积的最值问题以及外接球半径的计算。解答的核心在于利用空间向量的混合积（标量三重积）来表示四面体的体积。由于从同一个顶点出发的三条边长度恒定为$R$，当且仅当这三个向量两两垂直时，它们张成的平行六面体体积达到最大，此时四面体体积为其六分之一。确定了四面体的具体形状后，通过建立空间直角坐标系，将四个顶点分别置于原点和三个坐标轴上。利用外接球球心到四个顶点距离相等的条件列出方程组，即可求出球心坐标，进而利用两点间距离公式计算得到外接球的半径。外接球中心恰好为以这三条边为基础构成的正方体的体对角线的中点。