0404-1980 东大工 数学 WEB

线性代数 概率统计

$n\times n$ 行列 $R$ が次式で与えられるとき、下の問に答えよ。

$$R=[\min (t_k,t_l)]$$ $$\min (t_k,t_l)=\{\begin{array}{ll}{t}_k:& t_k<t_l\text{のとき}\\ t_l:& t_k>t_l\text{のとき}\end{array}$$

ここに、$0<t_1<t_2<\cdots <t_n$ とする。

(1) $x$ を $n$ 次元縦ベクトル、${}^{t}x$ をその転置ベクトルとするとき、次の不等式が成立することを示せ。

$${}^{t}xRx\ge 0$$

(2) 行列 $R$ の逆行列 $R^{-1}$ を求めよ。

(3) 次の関係が成り立つことを示せ。

$$\frac{{\int }_{-\infty }^{x_n}\exp \left\{-\frac{1}{2}{}^{t}x{R}^{-1}x\right\}\mathrm{d}{x}_n}{{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2}{}^{t}x{R}^{-1}x\right\}\mathrm{d}{x}_n}={\int }_{-\infty }^{x_n}\frac{\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(x_n-x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}}{\sqrt{2\pi (t_n-t_{n-1})}}\mathrm{d}{x}_n$$

ただし、$x={}^t(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ とする。

---

解答：

(1)
$t_0=0$ とし、$\Delta t_i=t_i-t_{i-1}>0(i=1,2,\cdots ,n)$ とおく。
$\min (t_k,t_l)$ は次のように表される。

$$\min (t_k,t_l)=\sum _{i=1}^{\min (k,l)}\Delta t_i$$

二次形式 ${}^{t}xRx$ を展開する。

$$\begin{array}{rl}{}^{t}xRx& =\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n{x}_k\min (t_k,t_l)x_l\\ & =\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n{x}_k\left(\sum _{i=1}^{\min (k,l)}\Delta t_i\right)x_l\\ & =\sum _{i=1}^n\Delta t_i\left(\sum _{k=i}^n{x}_k\right)\left(\sum _{l=i}^n{x}_l\right)\\ & =\sum _{i=1}^n\Delta t_i{\left(\sum _{k=i}^n{x}_k\right)}^2\end{array}$$

条件よりすべての $i$ について $\Delta t_i>0$ であり、${\left(\sum _{k=i}^n{x}_k\right)}^2\ge 0$ であるため、

$${}^{t}xRx\ge 0$$

(証明終)

(2)
(1)の展開より、行列 $R$ は $R=BD{}^{t}B$ と分解できる。ここで、

$$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 1& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cccc}{t}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& t_2-t_1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & t_n-t_{n-1}\end{array}\right)$$

したがって、その逆行列は $R^{-1}=({}^{t}B{)}^{-1}{D}^{-1}{B}^{-1}$ となる。
$B$ の逆行列 $C=B^{-1}$ は次のようになる。

$$C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ -1& 1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & -1& 1\end{array}\right)$$

$R^{-1}={}^{t}C{D}^{-1}C$ を計算すると、各成分は以下の通り定まる。

$$\boxed{\begin{array}{r}{R}^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2-t_1}& -\frac{1}{t_2-t_1}& 0& \cdots & 0\\ -\frac{1}{t_2-t_1}& \frac{1}{t_2-t_1}+\frac{1}{t_3-t_2}& -\frac{1}{t_3-t_2}& \cdots & 0\\ 0& -\frac{1}{t_3-t_2}& \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & \frac{1}{t_{n-1}-t_{n-2}}+\frac{1}{t_n-t_{n-1}}& -\frac{1}{t_n-t_{n-1}}\\ 0& 0& \cdots & -\frac{1}{t_n-t_{n-1}}& \frac{1}{t_n-t_{n-1}}\end{array}\right)\end{array}}$$

(3)
(2)の結果より、二次形式 ${}^{t}x{R}^{-1}x$ は次のように計算できる。

$$\begin{array}{rl}{}^{t}x{R}^{-1}x& ={}^t(Cx)D^{-1}(Cx)\\ & =\frac{x_1^2}{t_1}+\sum _{i=2}^n\frac{(x_i-x_{i-1}{)}^2}{t_i-t_{i-1}}\end{array}$$

この式のうち $x_n$ を含む項は最後の一項のみであるため、指数関数を次のように分離する。

$$\begin{array}{rl}\exp \left\{-\frac{1}{2}{}^{t}x{R}^{-1}x\right\}& =\exp \left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x_1^2}{t_1}+\sum _{i=2}^{n-1}\frac{(x_i-x_{i-1}{)}^2}{t_i-t_{i-1}}\right)\right\}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(x_n-x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}\\ & =K\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(x_n-x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}\end{array}$$

ここで、$K$ は $x_n$ に依存しない定数である。
これを与式の左辺に代入する（積分変数を一時的に $\xi$ とする）。

$$\begin{array}{rl}(\text{左辺})& =\frac{{\int }_{-\infty }^{x_n}K\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(\xi -x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}\mathrm{d}\xi }{{\int }_{-\infty }^{\infty }K\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(\xi -x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}\mathrm{d}\xi }\\ & =\frac{{\int }_{-\infty }^{x_n}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(\xi -x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}\mathrm{d}\xi }{{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(\xi -x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}\mathrm{d}\xi }\end{array}$$

分母は標準的なガウス積分であり、$\sigma =\sqrt{t_n-t_{n-1}}$ とおくと次のように計算できる。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(\xi -x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}\mathrm{d}\xi =\sqrt{2\pi (t_n-t_{n-1})}$$

したがって、

$$(\text{左辺})={\int }_{-\infty }^{x_n}\frac{\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(\xi -x_{n-1}{)}^2}{t_n-t_{n-1}}\right\}}{\sqrt{2\pi (t_n-t_{n-1})}}\mathrm{d}\xi =(\text{右辺})$$

(証明終)

---

这道题结合了线性代数和概率统计的相关背景。矩阵R本质上是布朗运动（维纳过程）的协方差矩阵。第一问通过引入时间增量，将原本的二次型化为了差分项的平方和形式，非常巧妙地证明了协方差矩阵的正定性质。第二问利用了矩阵分解的思想，将R分解为下三角矩阵、对角矩阵和上三角矩阵的连乘形式，进而方便地求得了它的逆矩阵，该逆矩阵在结构上呈现为规则的三对角矩阵。第三问则是多元高斯分布条件概率密度推导的一个特例。由于逆矩阵特殊的三对角形式，将其与向量相乘展开后，关于最后一个变量$x_n$的项能够完全独立出来。在计算积分时，与$x_n$无关的部分作为常数直接在分子分母中抵消，而分母留下的是一个常见的高斯积分。对其进行求解化简后，就能直接得到所要求的边缘分布形式。