0403-1980 东大工 数学 WEB

复变函数 留数定理 复积分

次の定積分の値を複素積分により求めよ。

$$I={\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^2\theta }{1-2a\cos \theta +a^2}\mathrm{d}\theta (0<a<1)$$

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解答：
$z=e^{i\theta }$ とおくと、$\mathrm{d}\theta =\frac{\mathrm{d}z}{iz}$ であり、積分経路 $C$ は複素平面上の単位円 $|z|=1$ となる。
オイラーの公式より、

$$\begin{array}{rl}\cos \theta & =\frac{z+z^{-1}}{2}=\frac{z^2+1}{2z}\\ \sin \theta & =\frac{z-z^{-1}}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz}\end{array}$$

これらを被積分関数に代入し整理する。分子は、

$${\sin }^2\theta ={\left(\frac{z^2-1}{2iz}\right)}^2=-\frac{(z^2-1{)}^2}{4z^2}$$

分母は、

$$\begin{array}{rl}1-2a\cos \theta +a^2& =1-2a\frac{z^2+1}{2z}+a^2\\ & =\frac{z-a(z^2+1)+a^{2}z}{z}\\ & =-\frac{a}{z}\left(z^2-\frac{1+a^2}{a}z+1\right)\\ & =-\frac{a}{z}(z-a)\left(z-\frac{1}{a}\right)\end{array}$$

したがって、定積分 $I$ は次のように複素積分に変換される。

$$\begin{array}{rl}I& ={\oint }_C\frac{-\frac{(z^2-1{)}^2}{4z^2}}{-\frac{a}{z}(z-a)\left(z-\frac{1}{a}\right)}\frac{\mathrm{d}z}{iz}\\ & ={\oint }_C\frac{(z^2-1{)}^2}{4ia{z}^2(z-a)\left(z-\frac{1}{a}\right)}\mathrm{d}z\end{array}$$

ここで、被積分関数を $f(z)=\frac{(z^2-1{)}^2}{4ia{z}^2(z-a)\left(z-\frac{1}{a}\right)}$ とおく。
条件 $0<a<1$ より、積分経路 $C$ （$|z|=1$）の内部にある $f(z)$ の特異点は $z=0$ （2位の極）および $z=a$ （1位の極）である。
それぞれの極における留数を求める。$z=0$ における留数は、

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Res}(f,0)& =\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{2}f(z)\right]\\ & =\frac{1}{4ia}\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{(z^2-1{)}^2}{(z-a)\left(z-\frac{1}{a}\right)}\right]\\ & =\frac{1}{4ia}\underset{z\to 0}{\lim }\frac{2(z^2-1)(2z)\left(z^2-\frac{1+a^2}{a}z+1\right)-(z^2-1{)}^2\left(2z-\frac{1+a^2}{a}\right)}{{\left(z^2-\frac{1+a^2}{a}z+1\right)}^2}\\ & =\frac{1}{4ia}\frac{0-(-1{)}^2\left(-\frac{1+a^2}{a}\right)}{1^2}\\ & =\frac{1}{4ia}\frac{1+a^2}{a}\end{array}$$

$z=a$ における留数は、

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Res}(f,a)& =\underset{z\to a}{\lim }\left[(z-a)f(z)\right]\\ & =\frac{1}{4ia}\underset{z\to a}{\lim }\frac{(z^2-1{)}^2}{z^2\left(z-\frac{1}{a}\right)}\\ & =\frac{1}{4ia}\frac{(a^2-1{)}^2}{a^2\left(a-\frac{1}{a}\right)}\\ & =\frac{1}{4ia}\frac{(a^2-1{)}^2}{a(a^2-1)}\\ & =\frac{1}{4ia}\frac{a^2-1}{a}\end{array}$$

留数定理により、積分 $I$ の値は経路内部の留数の和の $2\pi i$ 倍となる。

$$\begin{array}{rl}I& =2\pi i\left(\mathrm{Res}(f,0)+\mathrm{Res}(f,a)\right)\\ & =2\pi i\left(\frac{1}{4ia}\frac{1+a^2}{a}+\frac{1}{4ia}\frac{a^2-1}{a}\right)\\ & =\frac{2\pi i}{4ia}\left(\frac{1+a^2+a^2-1}{a}\right)\\ & =\frac{\pi }{2a}\cdot \frac{2a^2}{a}\\ & =\pi \end{array}$$

よって、求める定積分の値は、

$$\boxed{I=\pi }$$

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本题考查了利用复变函数中的留数定理计算实三角函数定积分的常规技巧。对于这类积分上下限为零到两派的有理三角函数积分，通用的处理方法是引入复变量，令 $z=e^{i\theta }$，从而将对实变量的积分完全转化为在复平面上沿着单位圆的路径积分。将正弦和余弦函数用含有 $z$ 的代数式替换，同时微分项也进行代换后，原来的被积函数就会变为一个关于 $z$ 的复变有理函数。

接着需要寻找该有理函数在单位圆内部的极点，题目中给出了参数 $a$ 的范围在 $0$ 到 $1$ 之间，据此可以判断出极点 $z=a$ 位于单位圆内，而极点 $z=1/a$ 位于单位圆外，同时注意由于分母中存在 $z^2$，因此在原点 $z=0$ 处还存在一个二阶极点。求导计算二阶极点的留数和直接求极限计算一阶极点的留数后，根据留数定理，将单位圆内所有极点的留数求和并乘以 $2\pi i$，化简即可得出原定积分的最终结果。