0402-1980 东大工 数学 WEB

偏微分方程 常微分方程 分离变量法 非齐次边界条件

(1) 偏微分方程式

$$\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{\partial x^2},(0\le t,0\le x\le l,\alpha \text{ は正の定数})$$

を、
初期条件;

$$t=0\text{ で }y=A,$$

境界条件;

$$\{\begin{array}{ll}x=0\text{ で }& y=B,\\ x=l\text{ で }& y=C\end{array}$$

のもとで解け。ただし、$A,B,C$ は正の定数である。

(2) 変数 $x_i(t),y(x_i)$ が微分方程式

$$\frac{d{x}_i}{dt}=-\frac{\partial y}{\partial x_i}(i=1,2,3,4)$$

を満たしており、その初期条件を

$$x_1(0)=1,x_2(0)=2,x_3(0)=2,x_4(0)=1$$

とする。いま、

$$y=x_1^4+2x_2^3+3x_3^2+4x_4$$

であるとき、$x_i(i=1,2,3,4)$ を求めよ。

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解答：

(1)
定常解を $u(x)$ とおくと、

$$\alpha \frac{d^{2}u(x)}{d{x}^2}=0$$

境界条件 $u(0)=B,u(l)=C$ より、

$$u(x)=\frac{C-B}{l}x+B$$

ここで $v(x,t)=y(x,t)-u(x)$ とおくと、

$$\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}v(x,t)}{\partial x^2}$$

初期条件および境界条件は以下のように同次化される。

$$\begin{array}{rl}v(x,0)& =A-\left(\frac{C-B}{l}x+B\right)\\ v(0,t)& =0\\ v(l,t)& =0\end{array}$$

変数分離法により、解は次のように表される。

$$v(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{e}^{-\alpha {\left(\frac{n\pi }{l}\right)}^{2}t}\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)$$

係数 $a_n$ は初期条件より、

$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^l\left(A-B-\frac{C-B}{l}x\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx$$

積分を計算する。

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{2}{l}{\left[-(A-B)\frac{l}{n\pi }\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\right]}_0^l-\frac{2(C-B)}{l^2}{\left[-\frac{lx}{n\pi }\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)+{\left(\frac{l}{n\pi }\right)}^2\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\right]}_0^l\\ & =\frac{2(A-B)}{n\pi }\left(1-(-1{)}^n\right)+\frac{2(C-B)}{n\pi }(-1{)}^n\\ & =\frac{2}{n\pi }\left(A-B+(C-A)(-1{)}^n\right)\end{array}$$

したがって、求める解 $y(x,t)=v(x,t)+u(x)$ は、

$$\boxed{\begin{array}{rl}y(x,t)& =\frac{C-B}{l}x+B\\ & +\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2}{n\pi }\left(A-B+(C-A)(-1{)}^n\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)e^{-\alpha {\left(\frac{n\pi }{l}\right)}^{2}t}\end{array}}$$

(2)
与式より、各変数についての偏導関数を求めると、微分方程式は以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}\frac{d{x}_1}{dt}& =-4x_1^3\\ \frac{d{x}_2}{dt}& =-6x_2^2\\ \frac{d{x}_3}{dt}& =-6x_3\\ \frac{d{x}_4}{dt}& =-4\end{array}$$

変数分離法を用いて各方程式を積分し、初期条件 $x_1(0)=1,x_2(0)=2,x_3(0)=2,x_4(0)=1$ を代入して積分定数を定める。

$x_1$ について、

$$-\frac{1}{2x_1^2}=-4t+C_1⟹C_1=-\frac{1}{2}⟹x_1(t)=\frac{1}{\sqrt{8t+1}}$$

$x_2$ について、

$$-\frac{1}{x_2}=-6t+C_2⟹C_2=-\frac{1}{2}⟹x_2(t)=\frac{2}{12t+1}$$

$x_3$ について、

$$\ln |x_3|=-6t+C_3⟹C_3=\ln 2⟹x_3(t)=2e^{-6t}$$

$x_4$ について、

$$x_4=-4t+C_4⟹C_4=1⟹x_4(t)=-4t+1$$

以上より、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{x}_1(t)& =(8t+1{)}^{-\frac{1}{2}}\\ x_2(t)& =\frac{2}{12t+1}\\ x_3(t)& =2e^{-6t}\\ x_4(t)& =-4t+1\end{array}}$$

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本题主要考察了一维热传导偏微分方程的求解以及一阶可分离变量常微分方程组的计算。在解答第一部分时，因为边界条件是非齐次的，直接应用分离变量法会遇到困难。通常的处理方法是先根据非齐次边界条件构造一个与时间无关的稳态解，然后将原解设为这个稳态解与一个瞬态解的和。这样替换进原方程后，瞬态解所满足的偏微分方程的边界条件就成功转化为了齐次条件。接着对瞬态解使用分离变量法，结合傅里叶正弦级数展开和初始条件求出系数，最后加上稳态解即可得到完整解。第二部分较为简单，根据偏导数的定义分别对四个自变量求导，将原本的问题化简为四个彼此独立的一阶常微分方程。对每一个方程利用分离变量法在等式两边进行积分，再将题目给出的初始值代入，算出对应的积分常数后就能得到各个变量关于时间的函数表达式。