0401-1979 东大工 数学 WEB

概率统计 常微分方程 马尔可夫过程

$a,b$ 2つの値をランダムにとる。時間 $t(t\ge 0)$ の関数 $s(t)$ がある。微小時間 $\Delta t$ の間に $s(t)$ がそのとる値を変える確率は、過去の履歴によらず $\lambda \Delta t$（$\lambda$ は定数）であるとする。このとき、$s(0)$ と $s(t)$ が同じ値をとる確率 $p(t)$ を求めよ。

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解答：

時刻 $t+\Delta t$ において $s(t+\Delta t)=s(0)$ となるのは、以下の2つの場合である。

1. 時刻 $t$ で $s(t)=s(0)$ であり、微小時間 $\Delta t$ の間に値が変わらない場合。
2. 時刻 $t$ で $s(t)\ne s(0)$ であり、微小時間 $\Delta t$ の間に値が変わる場合。

これらは互いに排反であるから、確率 $p(t+\Delta t)$ は次のように表される。

$$p(t+\Delta t)=p(t)(1-\lambda \Delta t)+\{1-p(t)\}\lambda \Delta t$$

右辺を展開して整理する。

$$p(t+\Delta t)=p(t)-\lambda p(t)\Delta t+\lambda \Delta t-\lambda p(t)\Delta t$$
$$p(t+\Delta t)-p(t)=\lambda \Delta t-2\lambda p(t)\Delta t$$

両辺を $\Delta t$ で割り、$\Delta t\to 0$ の極限をとる。

$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}=\lambda -2\lambda p(t)$$
$$\frac{\mathrm{d}p(t)}{\mathrm{d}t}=-2\lambda \left(p(t)-\frac{1}{2}\right)$$

この微分方程式を変数分離法で解く。

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}p(t)}{p(t)-\frac{1}{2}}& =-2\lambda \mathrm{d}t\\ \int \frac{\mathrm{d}p(t)}{p(t)-\frac{1}{2}}& =\int -2\lambda \mathrm{d}t\\ \ln \left|p(t)-\frac{1}{2}\right|& =-2\lambda t+C_1\\ p(t)-\frac{1}{2}& =C{e}^{-2\lambda t}(C=\pm e^{C_1})\end{array}$$

ここで、時刻 $t=0$ においては確実に $s(0)=s(0)$ であるため、初期条件は $p(0)=1$ となる。
これを代入して積分定数 $C$ を求める。

$$1-\frac{1}{2}=C{e}^0$$
$$C=\frac{1}{2}$$

したがって、求める確率 $p(t)$ は以下のようになる。

$$\boxed{p(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{e}^{-2\lambda t}}$$

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这道题考查了连续时间马尔可夫链的基本模型建构与常微分方程的求解。这是一个典型的两状态随机过程，通常在物理学等领域被称为随机电报信号过程。解题的核心在于利用全概率公式，通过分析从时刻 $t$ 到 $t+\Delta t$ 这一极小时间间隔内的状态转移情况，建立起关于概率的差分方程。由于微小时间内状态改变的概率已知为 $\lambda \Delta t$，通过分类讨论时刻 t 时系统是否与初始状态相同，能够非常清晰地写出递推关系。将其转化为导数定义形式后，微积分的极限过程就自然地把问题过渡为了一个简单的一阶线性常微分方程。利用分离变量法或积分因子法即可求出通解，最后代入初始时刻状态必定与其自身相同这一必然事件的概率作为初始条件，便能确定唯一的特解。在这个问题的物理图像中，当时间趋于无穷大时，指数衰减项趋于零，使得状态保持不变的概率逐渐收敛于二分之一，这也完美符合系统经过长时间演化后完全丢失初始记忆并在两个独立状态间等概率分布的直观事实。