0400-1979 东大工 数学 WEB

复变函数 定积分计算 留数定理

次の定積分の値を、複素積分を用いて求めよ。

$$J={\int }_0^{\infty }\frac{x}{1+x^3}\mathrm{d}x$$

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解答：

複素関数 $f(z)=\frac{z}{1+z^3}$ を考える。
複素平面上に、原点を中心とする半径 $R$ の扇形の閉曲線 $\Gamma =C_1+C_R+C_2$ をとる。
$C_1:z=x(0\le x\le R)$
$C_R:z=R{e}^{i\theta }(0\le \theta \le \frac{2\pi }{3})$
$C_2:z=r{e}^{i2\pi /3}(r\text{ は }R\text{ から }0\text{ へ変化})$

$\Gamma$ に沿う複素積分は次のように表される。

$${\oint }_{\Gamma }f(z)\mathrm{d}z={\int }_{C_1}f(z)\mathrm{d}z+{\int }_{C_R}f(z)\mathrm{d}z+{\int }_{C_2}f(z)\mathrm{d}z$$

$R\to \infty$ のとき、各経路の積分は以下のようになる。
$C_1$ において：

$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{C_1}f(z)\mathrm{d}z={\int }_0^{\infty }\frac{x}{1+x^3}\mathrm{d}x=J$$

$C_R$ において、十分大きな $R$ に対して $|1+z^3|\ge R^3-1$ であるため：

$$\left|{\int }_{C_R}f(z)\mathrm{d}z\right|\le \frac{R}{R^3-1}\cdot \frac{2\pi R}{3}\stackrel{R\to \infty }{\to }0$$

$C_2$ において、$z=r{e}^{i2\pi /3},\mathrm{d}z=e^{i2\pi /3}\mathrm{d}r$ であり、$(e^{i2\pi /3}{)}^3=1$ より：

$$\begin{array}{rl}\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{C_2}f(z)\mathrm{d}z& =\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_R^0\frac{r{e}^{i2\pi /3}}{1+r^3}{e}^{i2\pi /3}\mathrm{d}r\\ & =-e^{i4\pi /3}{\int }_0^{\infty }\frac{r}{1+r^3}\mathrm{d}r\\ & =-e^{i4\pi /3}J\end{array}$$

したがって、$R\to \infty$ での周回積分は以下の式になる。

$${\oint }_{\Gamma }f(z)\mathrm{d}z=J(1-e^{i4\pi /3})$$

次に、$\Gamma$ の内部における $f(z)$ の極を求める。
$1+z^3=0$ より、$z^3=e^{i\pi +i2n\pi }$ となり、$z=e^{i\pi /3},e^{i\pi },e^{i5\pi /3}$ を得る。
このうち、積分路 $\Gamma$ の内部（$0<\arg z<\frac{2\pi }{3}$）にある極は $z_1=e^{i\pi /3}$ のみである。
$z_1$ における留数を計算する。

$$\mathrm{Res}(f,z_1)={\frac{z}{(1+z^3{)}^{\prime }}|}_{z=z_1}=\frac{z_1}{3z_1^2}=\frac{1}{3z_1}=\frac{1}{3}{e}^{-i\pi /3}$$

留数定理より、

$$J(1-e^{i4\pi /3})=2\pi i\mathrm{Res}(f,z_1)=\frac{2\pi i}{3}{e}^{-i\pi /3}$$

この式を変形して $J$ を求める。両辺に $e^{i\pi /3}$ を掛けると、

$$\begin{array}{rl}J(e^{i\pi /3}-e^{i5\pi /3})& =\frac{2\pi i}{3}\\ J(e^{i\pi /3}-e^{-i\pi /3})& =\frac{2\pi i}{3}\\ J\left(2i\sin \frac{\pi }{3}\right)& =\frac{2\pi i}{3}\\ J\left(2i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)& =\frac{2\pi i}{3}\\ Ji\sqrt{3}& =\frac{2\pi i}{3}\end{array}$$

$$\boxed{J=\frac{2\sqrt{3}\pi }{9}}$$

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这道题考查了利用复变函数中的留数定理来计算广义实积分。因为被积函数分母是关于$x$的三次多项式，无法像偶函数那样简单地把积分区间扩充到整个实轴，所以采用构造扇形积分回路的方法最为典型。积分回路的角度选取非常关键，为了使返回原点的直线段（即路径 $C_2$）上的积分能在代换后与原积分 $J$ 仅差一个常数因子，选择以 $2\pi /3$ 为夹角构造扇形，因为 $(r{e}^{i2\pi /3}{)}^3=r^3$，代回分母后与原积分的形式一致。利用ML不等式可以轻松证明大圆弧段的积分在半径趋于无穷大时趋于零。然后在该扇形区域内寻找奇点，解方程得到三个奇点，其中只有 $e^{i\pi /3}$ 落在闭合曲线内部，利用洛必达法则或极点留数公式直接计算出一阶极点的留数。最后根据留数定理列出等式，为了化简代数表达式，可以将等式两边同乘 $e^{i\pi /3}$ 凑出正弦函数的欧拉公式形式，可以大幅度减少复数四则运算的计算量并降低出错率，最终求得定积分的精确值。