0399-1979 东大工 数学 WEB

偏微分方程 分离变量法 傅里叶级数

拡散型微分方程式

$$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}f(x,t)}{\partial x^2}(0\le x\le \pi ,t\ge 0)$$

を、次の条件のもとで解け。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f(0,t)}{\partial x}& =\frac{\partial f(\pi ,t)}{\partial x}=0(t>0)\\ f(x,0)& ={\sin }^{2}x(0\le x\le \pi )\end{array}$$

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解答：

変数分離法を用いる。$f(x,t)=X(x)T(t)$ とおき、与えられた微分方程式に代入する。

$$X(x)T^{\prime }(t)=X^{\prime \prime }(x)T(t)$$
両辺を $X(x)T(t)$ で割り、定数 $-\lambda$ を導入すると、
$$\frac{T^{\prime }(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}=-\lambda$$
これにより、次の2つの常微分方程式が得られる。

$$\begin{array}{rl}{X}^{\prime \prime }(x)+\lambda X(x)& =0\\ T^{\prime }(t)+\lambda T(t)& =0\end{array}$$

境界条件 $\frac{\partial f(0,t)}{\partial x}=\frac{\partial f(\pi ,t)}{\partial x}=0$ より、

$$X^{\prime }(0)=0,X^{\prime }(\pi )=0$$

(i) $\lambda <0$ のとき、$\lambda =-k^2(k>0)$ とおくと $X(x)=C_1\cosh (kx)+C_2\sinh (kx)$ となり、境界条件を満たすのは $C_1=C_2=0$ の自明な解のみとなる。

(ii) $\lambda =0$ のとき、$X^{\prime \prime }(x)=0$ より $X(x)=C_{1}x+C_2$。境界条件より $X^{\prime }(x)=C_1=0$。よって $X(x)=C_2$ となり、定数解を持つ。

(iii) $\lambda >0$ のとき、$\lambda =k^2(k>0)$ とおくと、

$$X(x)=A\cos (kx)+B\sin (kx)$$
$$X^{\prime }(x)=-Ak\sin (kx)+Bk\cos (kx)$$
$X^{\prime }(0)=Bk=0$ より $B=0$ となる。
$X^{\prime }(\pi )=-Ak\sin (k\pi )=0$ より、$A\ne 0$ とすると $\sin (k\pi )=0$ である。よって $k=n(n=1,2,\dots )$ となる。
固有値は ${\lambda }_n=n^2$、対応する固有関数は $X_n(x)=\cos (nx)$ である（$n=0$ も $\lambda =0$ の定数解として含めることができる）。

このとき、$T$ に関する微分方程式は $T^{\prime }(t)+n^{2}T(t)=0$ となり、その解は

$$T_n(t)=C_n{e}^{-n^{2}t}$$
以上を重ね合わせて、一般解は次のように表される。
$$f(x,t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{e}^{-n^{2}t}\cos (nx)$$
初期条件 $f(x,0)={\sin }^{2}x$ を適用すると、
$$f(x,0)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (nx)={\sin }^{2}x$$
三角関数の半角の公式より ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x)$ であるため、これを代入して係数を比較する。

$$\begin{array}{rl}\frac{a_0}{2}& =\frac{1}{2}⟹a_0=1\\ a_2& =-\frac{1}{2}\\ a_n& =0(n\ne 0,2)\end{array}$$

したがって、求める解は次のようになる。

$$\boxed{f(x,t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{e}^{-4t}\cos (2x)}$$

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本题考查了使用分离变量法求解典型的一维偏微分方程。给定的方程是扩散方程的标准形式。题目中的边界条件表示在区间两端函数的空间一阶导数为零，这在物理上对应于两端绝热的诺伊曼边界条件。通过假设解可以写成空间变量和时间变量的函数乘积，能够将偏微分方程转化为两个常微分方程。利用边界条件可以求解空间方向上的斯特姆刘维尔特征值问题，得到仅当特征值为非负整数的平方时才有非零解，对应的特征函数为余弦函数。随后将时间方向上的指数衰减解与空间方向的余弦函数进行线性叠加，即可得到满足边界条件的通解形式。最后代入初始条件时，由于初始条件是正弦函数的平方，利用三角函数的降幂公式直接将其转化为常数与二倍角余弦的线性组合，这恰好是傅里叶余弦级数的有限项展开。通过直接对比各项系数就可以迅速求出各阶傅里叶系数，从而避免了繁琐的积分计算，直接得出最终的特解。这种方法在处理特定多项式或三角函数作为初始条件的偏微分方程时非常高效。