0398-1979 东大工 数学 WEB

微分积分 勒让德变换 解析几何

関数 $y=y(x)$ は、

$$\begin{array}{rl}X& =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ Y& =y-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}x\end{array}\}\cdots \cdots (\mathrm{u})$$

で定義される変換 $(x,y)⟶(X,Y)$ により、関数 $Y=Y(X)$ に写される。これについて次の問に答えよ。

(1) 変換 (u) の逆変換が

$$\begin{array}{rl}x& =-\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}\\ y& =Y-\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}X\end{array}\}\cdots \cdots (\mathrm{v})$$

で与えられることを証明せよ。

(2) 関数 $y=y(x)$ が、直交座標系 $(x,y)$ において原点を中心とする単位円をあらわすとき、関数 $Y=Y(X)$ は、直交座標系 $(X,Y)$ においてどのような図形をあらわすか。

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解答：

(1)
変換 (u) の第1式より、$X=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ であるから、

$$\mathrm{d}y=X\mathrm{d}x$$
が成り立つ。
変換 (u) の第2式 $Y=y-Xx$ の両辺の全微分をとると、

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}Y& =\mathrm{d}y-\mathrm{d}(Xx)\\ & =\mathrm{d}y-x\mathrm{d}X-X\mathrm{d}x\end{array}$$

ここに $\mathrm{d}y=X\mathrm{d}x$ を代入すると、

$$\mathrm{d}Y=X\mathrm{d}x-x\mathrm{d}X-X\mathrm{d}x=-x\mathrm{d}X$$
両辺を $\mathrm{d}X$ で割ることで次式を得る。
$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=-x⟹x=-\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}$$
これを $Y=y-Xx$ に代入して $y$ について解くと、
$$y=Y+Xx=Y+X\left(-\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}\right)=Y-\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}X$$
以上より、逆変換 (v) が与えられることが示された。(証明終)

(2)
関数 $y=y(x)$ は原点を中心とする単位円をあらわすため、方程式 $x^2+y^2=1$ を満たす。
この両辺を $x$ で微分すると、

$$2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0⟹\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}$$
したがって、変換 (u) により $X$ および $Y$ は次のようにあらわされる。
$$X=-\frac{x}{y}$$
$$Y=y-\left(-\frac{x}{y}\right)x=\frac{y^2+x^2}{y}$$
$x^2+y^2=1$ を用いると、$Y=\frac{1}{y}$ となる。
これより $y=\frac{1}{Y}$ を得て、$X$ の式に代入すると、
$$X=-xY⟹x=-\frac{X}{Y}$$
得られた $x$ と $y$ の式を単位円の方程式 $x^2+y^2=1$ に代入すると、
$${\left(-\frac{X}{Y}\right)}^2+{\left(\frac{1}{Y}\right)}^2=1$$
$$\frac{X^2+1}{Y^2}=1$$
両辺に $Y^2$ を掛けて整理すると、$Y^2-X^2=1$ となる。
よって、関数 $Y=Y(X)$ は直交座標系 $(X,Y)$ において双曲線をあらわす。

$$\boxed{Y^2-X^2=1(\text{双曲線})}$$

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本题考查了勒让德变换的基本性质及其在具体函数图形上的应用。勒让德变换在经典力学和热力学中是非常核心的数学工具，例如在分析力学中用于拉格朗日量与哈密顿量之间的转换。第一问要求推导勒让德变换的逆变换，利用全微分法是最直接且不易出错的途径，通过微分关系可以直接消去包含积分元的部分，从而展现出变换的对合性质。第二问则是求单位圆在该变换下的映射图形，勒让德变换在几何上的意义是将曲线映射为其切线族，即把原坐标系中的位置坐标转换为新坐标系中的斜率与截距。通过隐函数求导得出新坐标与原坐标的关系式，再将原坐标反解出来代回原方程，即可巧妙消去原变量，最终得到一个等轴双曲线方程。这种代数消元法是处理坐标变换轨线问题的标准手段。