0396-1979 东大工 数学 WEB

线性代数 矩阵运算 特征值与特征向量

正方行列 $A,B$ が、

$$AB+BA=I,A^2=B^2=O$$
という関係を満たすとき（ただし、$I$ は単位行列、$O$ は零行列とする）、
$$C=AB$$
で定義される正方行列について、次の問に答えよ。

(1) $C^2=C$ が成立することを証明し、これから $C$ の固有値が $0$ または $1$ であることを導け。

(2) 固有値 $0,1$ に対する $C$ の固有ベクトルをそれぞれ ${\mathbf{f}}_0,{\mathbf{f}}_1$ とするとき、$B{\mathbf{f}}_0,A{\mathbf{f}}_1$ がともに零ベクトル、$B{\mathbf{f}}_1,A{\mathbf{f}}_0$ がそれぞれ固有値 $0,1$ に対する $C$ の固有ベクトルとなることを証明せよ。

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解答：

(1)
条件 $AB+BA=I$ より $BA=I-AB$ であるから、

$$\begin{array}{rl}{C}^2& =(AB{)}^2=A(BA)B\\ & =A(I-AB)B\\ & =AB-A^2{B}^2\end{array}$$

$A^2=O$ より $A^2{B}^2=O$ となるため、

$$C^2=AB=C$$
が成り立つ。

$C$ の固有値を $\lambda$、対応する固有ベクトルを $\mathbf{v}\ne 0$ とすると、$C\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ である。
両辺の左から $C$ を掛けると、

$$C^2\mathbf{v}=C(\lambda \mathbf{v})=\lambda C\mathbf{v}={\lambda }^2\mathbf{v}$$
$C^2=C$ であるから、$C^2\mathbf{v}=C\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ となり、
$${\lambda }^2\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$
$$({\lambda }^2-\lambda )\mathbf{v}=0$$
$\mathbf{v}\ne 0$ より、${\lambda }^2-\lambda =0$ が成り立つ。
したがって、$\lambda (\lambda -1)=0$ となり、$\lambda =0$ または $1$ である。(証明終)

(2)
仮定より、$C{\mathbf{f}}_0=0$、$C{\mathbf{f}}_1={\mathbf{f}}_1$ （ただし ${\mathbf{f}}_0\ne 0,{\mathbf{f}}_1\ne 0$）である。

$B{\mathbf{f}}_0$ について、$C=AB$ より $AB{\mathbf{f}}_0=0$ である。
両辺の左から $B$ を掛けると、

$$BAB{\mathbf{f}}_0=0$$
また、$AB+BA=I$ の両辺の右から $B$ を掛けると $A{B}^2+BAB=B$ となり、$B^2=O$ より $BAB=B$ である。したがって、
$$B{\mathbf{f}}_0=BAB{\mathbf{f}}_0=0$$

$A{\mathbf{f}}_1$ について、$C{\mathbf{f}}_1={\mathbf{f}}_1$ より $AB{\mathbf{f}}_1={\mathbf{f}}_1$ である。
両辺の左から $A$ を掛けると、

$$A^{2}B{\mathbf{f}}_1=A{\mathbf{f}}_1$$
$A^2=O$ より左辺は $0$ となるため、
$$A{\mathbf{f}}_1=0$$

$B{\mathbf{f}}_1$ について、$C=AB$ を用いると、

$$C(B{\mathbf{f}}_1)=(AB)B{\mathbf{f}}_1=A{B}^2{\mathbf{f}}_1=0$$
また、もし $B{\mathbf{f}}_1=0$ とすると、$C{\mathbf{f}}_1=AB{\mathbf{f}}_1=A(B{\mathbf{f}}_1)=0$ となり、$C{\mathbf{f}}_1={\mathbf{f}}_1\ne 0$ に矛盾する。ゆえに $B{\mathbf{f}}_1\ne 0$ であり、$B{\mathbf{f}}_1$ は固有値 $0$ の固有ベクトルである。

$A{\mathbf{f}}_0$ について、

$$\begin{array}{rl}C(A{\mathbf{f}}_0)& =(AB)A{\mathbf{f}}_0=A(BA){\mathbf{f}}_0\\ & =A(I-AB){\mathbf{f}}_0\\ & =A{\mathbf{f}}_0-A(C{\mathbf{f}}_0)\\ & =A{\mathbf{f}}_0-0\\ & =1\cdot A{\mathbf{f}}_0\end{array}$$

また、もし $A{\mathbf{f}}_0=0$ とすると、$BA{\mathbf{f}}_0=0$ となる。すでに $B{\mathbf{f}}_0=0$ を示しているので、$(AB+BA){\mathbf{f}}_0=0$ となり $I{\mathbf{f}}_0=0$ すなわち ${\mathbf{f}}_0=0$ となって固有ベクトルであることと矛盾する。ゆえに $A{\mathbf{f}}_0\ne 0$ であり、$A{\mathbf{f}}_0$ は固有値 $1$ の固有ベクトルである。(証明終)

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这道题主要考察了矩阵的基本代数运算以及特征值与特征向量的定义和性质。在第一问中，利用已知条件去凑出等式右边的结构是关键，将矩阵相乘的结合律和给定的零矩阵条件结合起来就能顺利得到幂等矩阵的结论，随后直接应用特征值和特征向量的定义方程即可解出特征值只能取0或1。第二问需要灵活运用第一问的结论和题干中的初始条件。证明向量被矩阵作用后等于零向量时，可以通过在已知等式两边左乘或右乘特定矩阵来构造，例如利用恒等关系消去部分项。而在证明某个向量是特定特征值的特征向量时，除了要验证特征方程是否成立，还必须要在逻辑上严格补充说明该向量不是零向量，因为零向量根据定义不能作为特征向量。反证法在这里是一个非常有效的手段，通过假设其为零向量并推导出与已知非零特征向量相矛盾的结论，就可以保证证明的严密性。整个求解过程对矩阵乘法的非交换性以及各项法则的熟练度有一定要求。