0395-1978 东大工 数学 WEB

概率统计 连续型随机变量

区間 $[0,1]$ からランダムに 2 点 $x_1,x_2$ を独立に選ぶ。このとき、両者の距離

$$d=|x_1-x_2|$$

の期待値と分散とを求めよ。

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解答：
$x_1,x_2$ は互いに独立に区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うため、その同時確率密度関数は $f(x_1,x_2)=1(0\le x_1\le 1,0\le x_2\le 1)$ である。

距離 $d$ の期待値 $E[d]$ は、対称性を用いて次のように計算できる。

$$\begin{array}{rl}E[d]& ={\int }_0^1{\int }_0^1|x_1-x_2|d{x}_{1}d{x}_2\\ & =2{\int }_0^1{\int }_0^{x_1}(x_1-x_2)d{x}_{2}d{x}_1\\ & =2{\int }_0^1{\left[x_1{x}_2-\frac{1}{2}{x}_2^2\right]}_0^{x_1}d{x}_1\\ & =2{\int }_0^1\frac{1}{2}{x}_1^{2}d{x}_1\\ & ={\int }_0^1{x}_1^{2}d{x}_1={\left[\frac{1}{3}{x}_1^3\right]}_0^1=\frac{1}{3}\end{array}$$

次に、分散を求めるために $d^2=(x_1-x_2{)}^2$ の期待値 $E[d^2]$ を計算する。
$x_1,x_2$ は独立な一様分布に従うため、それぞれの期待値と2次のモーメントは以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}E[x_1]& =E[x_2]={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}\\ E[x_1^2]& =E[x_2^2]={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\end{array}$$

独立性より $E[x_1{x}_2]=E[x_1]E[x_2]$ であるから、

$$\begin{array}{rl}E[d^2]& =E[x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2]\\ & =E[x_1^2]-2E[x_1]E[x_2]+E[x_2^2]\\ & =\frac{1}{3}-2\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\\ & =\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\end{array}$$

したがって、距離 $d$ の分散 $V[d]$ は以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}V[d]& =E[d^2]-(E[d]{)}^2\\ & =\frac{1}{6}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\\ & =\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}\text{期待値}& E[d]=\frac{1}{3}\\ \text{分散}& V[d]=\frac{1}{18}\end{array}}$$

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这是一道关于连续型随机变量的经典基础题。题目要求计算两个独立均匀分布随机变量差的绝对值的期望和方差。由于两个变量独立且服从0到1的均匀分布，它们的联合概率密度函数在这个边长为1的正方形区域内恒为1。在计算期望时，处理绝对值最标准的方法是对积分区域进行划分，利用对称性将二重积分转化为在一个三角形区域上的积分，从而去掉绝对值符号简化计算。而在求方差时，根据方差的计算公式推导，可以直接利用随机变量的独立性和期望的线性性质，先分别求出各个变量的一阶矩和二阶矩，再通过展开平方项求得距离的平方的期望，最后代入方差公式即可得出结果。这种方法相比于直接对平方项进行二重积分更加简便且不易出错。