0394-1978 东大工 数学 WEB

常微分方程 渐近展开

$$x\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(2-x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{2}y=0(\text{w})$$

の基本解の1つに対し、$x^{-\frac{1}{2}}$ が $x⟶\infty$ における近似解であることを示し、他の基本解の $x⟶\infty$ における近似解を求めよ。

(ヒント)
$x⟶\infty$ のとき、式(w)の近似解は $y=e^{\gamma x}u(x)$ の形で書くことができる。また $u(x)$ を

$$u(x)=x^{\beta }\left(1+\frac{v_1}{x}+\frac{v_2}{x^2}+\cdots \right)\approx x^{\beta }$$

と表現して解を得ることを考える。ただし、$v_1,v_2,\cdots$ は定数である。

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解答：
与えられた微分方程式(w)に $y=e^{\gamma x}u(x)$ を代入する。

$$y^{\prime }=e^{\gamma x}(u^{\prime }+\gamma u)$$ $$y^{\prime \prime }=e^{\gamma x}(u^{\prime \prime }+2\gamma u^{\prime }+{\gamma }^{2}u)$$

これらを(w)に代入して $e^{\gamma x}\ne 0$ で割り、整理すると

$$x(u^{\prime \prime }+2\gamma u^{\prime }+{\gamma }^{2}u)+(2-x)(u^{\prime }+\gamma u)-\frac{1}{2}u=0$$ $$x{u}^{\prime \prime }+\{(2\gamma -1)x+2\}{u}^{\prime }+\left\{({\gamma }^2-\gamma )x+2\gamma -\frac{1}{2}\right\}u=0$$

$x⟶\infty$ において $u(x)\approx x^{\beta }$ と仮定する。このとき $u^{\prime }\approx \beta x^{\beta -1},u^{\prime \prime }\approx \beta (\beta -1)x^{\beta -2}$ であるから、上式に代入して $x$ のべき乗でまとめると

$$x\cdot \beta (\beta -1)x^{\beta -2}+\{(2\gamma -1)x+2\}\cdot \beta x^{\beta -1}+\left\{({\gamma }^2-\gamma )x+2\gamma -\frac{1}{2}\right\}\cdot x^{\beta }\approx 0$$ $$({\gamma }^2-\gamma )x^{\beta +1}+\left\{\beta (2\gamma -1)+2\gamma -\frac{1}{2}\right\}{x}^{\beta }+O(x^{\beta -1})=0$$

これが $x⟶\infty$ で成立するためには、最高次の項の係数が順に $0$ とならなければならない。
$x^{\beta +1}$ の係数より

$${\gamma }^2-\gamma =0⟹\gamma =0,1$$

$x^{\beta }$ の係数より

$$\beta (2\gamma -1)+2\gamma -\frac{1}{2}=0$$

(i) $\gamma =0$ のとき

$$\beta (0-1)+0-\frac{1}{2}=0⟹\beta =-\frac{1}{2}$$

したがって、近似解の1つは $y\approx e^{0\cdot x}{x}^{-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}$ となり、$x^{-\frac{1}{2}}$ が $x⟶\infty$ における近似解であることが示された。(証明終)

(ii) $\gamma =1$ のとき

$$\beta (2-1)+2-\frac{1}{2}=0⟹\beta =-\frac{3}{2}$$

したがって、他の基本解の近似解は $y\approx e^{1\cdot x}{x}^{-\frac{3}{2}}=e^x{x}^{-\frac{3}{2}}$ となる。

$$\boxed{y\approx e^x{x}^{-\frac{3}{2}}}$$

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本题考查了常微分方程在无穷远点的渐近解法。对于变系数线性常微分方程，当自变量趋于无穷大时，通常无法通过简单的初等方法求得精确的解析解。此时，可以通过代换提取解的指数部分，并假设剩余部分具有幂级数形式的渐近展开来获取解的主要行为。将假设的解形式代入原方程后，依据多项式恒等定理的思想，要求各项最高次幂的系数必定为零。首先由最高次项确定指数参数的值，这对应于决定解的指数增长或衰减趋势。随后利用次高次项的系数为零，求得对应的代数幂次参数。由于二阶线性微分方程具有两个线性无关的基本解，这里求得的两个不同的参数组合恰好分别给出了这两个基本解在无穷远处的渐近表达式。这种渐近展开法在处理物理学和工程学中常见的诸如合流超几何方程等特殊函数微分方程时非常有效，能够清晰且直接地揭示复杂解函数在极限情况下的渐近形态特征。