0393-1978 东大工 数学 WEB

复变函数 留数定理

周積分 $\oint \frac{Z+2}{Z^2(Z^2-4i)}\mathrm{d}z$ の値を、積分路が次の3つの場合のそれぞれについて求めよ。ただし、$Z$ は複素数、$i=\sqrt{-1}$ とする。

(1) $|Z|=1$

(2) $|Z|=4$

(3) $|Z-4i|=3$

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解答：
被積分関数を $f(Z)=\frac{Z+2}{Z^2(Z^2-4i)}$ とおく。
特異点は分母が0となる点である。
$Z^2=0$ より $Z_1=0$ （2位の極）。
$Z^2-4i=0$ より $Z^2=4e^{i\frac{\pi }{2}}$ を解いて、

$$Z=\pm 2e^{i\frac{\pi }{4}}=\pm 2\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)=\pm (\sqrt{2}+i\sqrt{2})$$

したがって、極は $Z_2=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ と $Z_3=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ （ともに1位の極）である。

各極における留数を計算する。
$Z_1=0$ について、

$$\begin{array}{rl}\text{Res}(f,0)& =\underset{Z\to 0}{\lim }\frac{d}{dZ}\left[Z^{2}f(Z)\right]\\ & =\underset{Z\to 0}{\lim }\frac{d}{dZ}\left(\frac{Z+2}{Z^2-4i}\right)\\ & =\underset{Z\to 0}{\lim }\frac{1\cdot (Z^2-4i)-(Z+2)\cdot 2Z}{(Z^2-4i{)}^2}\\ & =\frac{-4i}{(-4i{)}^2}=\frac{i}{4}\end{array}$$

$Z_2,Z_3$ について、

$$\begin{array}{rl}\text{Res}(f,Z_k)& ={\frac{Z+2}{(Z^2{)}^{\prime }(Z^2-4i)+Z^2(Z^2-4i{)}^{\prime }}|}_{Z=Z_k}\\ & ={\frac{Z+2}{2Z(Z^2-4i)+Z^2(2Z)}|}_{Z=Z_k}\\ & =\frac{Z_k+2}{2Z_k^3}=\frac{Z_k+2}{2Z_k(4i)}=\frac{Z_k+2}{8i{Z}_k}=\frac{1}{8i}+\frac{1}{4i{Z}_k}\end{array}$$

ここで、$Z_3=-Z_2$ であるため、両者の和は以下のようになる。

$$\text{Res}(f,Z_2)+\text{Res}(f,Z_3)=\left(\frac{1}{8i}+\frac{1}{4i{Z}_2}\right)+\left(\frac{1}{8i}-\frac{1}{4i{Z}_2}\right)=\frac{1}{4i}=-\frac{i}{4}$$

$Z_2$ の留数を具体的に求めると、

$$\begin{array}{rl}\text{Res}(f,Z_2)& =-\frac{i}{8}+\frac{1}{4i(\sqrt{2}+i\sqrt{2})}\\ & =-\frac{i}{8}+\frac{1-i}{4i\sqrt{2}(1+i)(1-i)}\\ & =-\frac{i}{8}+\frac{1-i}{8i\sqrt{2}}\\ & =-\frac{i}{8}-\frac{i+1}{8\sqrt{2}}\\ & =-\frac{\sqrt{2}}{16}-i\frac{2+\sqrt{2}}{16}\end{array}$$

(1)
$|Z|=1$ の内部にある極を調べる。
$|Z_1|=0<1$
$|Z_2|=|Z_3|=\sqrt{(\pm \sqrt{2}{)}^2+(\pm \sqrt{2}{)}^2}=2>1$
内部にある極は $Z_1=0$ のみである。留数定理より、

$${\oint }_{|Z|=1}f(Z)dz=2\pi i\text{Res}(f,0)=2\pi i\left(\frac{i}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}$$ $$\boxed{-\frac{\pi }{2}}$$

(2)
$|Z|=4$ の内部にある極を調べる。
$|Z_1|=0<4$
$|Z_2|=|Z_3|=2<4$
内部には全ての極 $Z_1,Z_2,Z_3$ が含まれる。留数定理より、

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{|Z|=4}f(Z)dz& =2\pi i\left(\text{Res}(f,0)+\text{Res}(f,Z_2)+\text{Res}(f,Z_3)\right)\\ & =2\pi i\left(\frac{i}{4}-\frac{i}{4}\right)=0\end{array}$$ $$\boxed{0}$$

(3)
積分路 $|Z-4i|=3$ と各極との距離を調べる。
$Z_1$: $|0-4i{|}^2=16>9$ （外部）
$Z_2$: $|\sqrt{2}+i\sqrt{2}-4i{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}-4{)}^2=20-8\sqrt{2}\approx 8.68<9$ （内部）
$Z_3$: $|-\sqrt{2}-i\sqrt{2}-4i{|}^2=(-\sqrt{2}{)}^2+(-\sqrt{2}-4{)}^2=20+8\sqrt{2}\approx 31.3>9$ （外部）
内部にある極は $Z_2$ のみである。留数定理より、

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{|Z-4i|=3}f(Z)dz& =2\pi i\text{Res}(f,Z_2)\\ & =2\pi i\left(-\frac{\sqrt{2}}{16}-i\frac{2+\sqrt{2}}{16}\right)\\ & =-i\frac{\sqrt{2}\pi }{8}+\frac{(2+\sqrt{2})\pi }{8}\end{array}$$ $$\boxed{\frac{(2+\sqrt{2})\pi }{8}-i\frac{\sqrt{2}\pi }{8}}$$

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这道题目主要考查了复变函数中的围道积分计算，解题的核心思路是应用柯西留数定理。第一步需要准确判断出被积函数的所有奇点及其阶数。通过令分母为零，我们可以发现原点是一个二阶极点，另外还有两个通过解复数开方得到的一阶极点。第二步则是针对每个极点计算其留数。对于高阶极点原点，直接运用导数公式进行求解；对于另外两个一阶极点，使用洛必达法则化简分母求导来计算留数会更加便捷。题目分三种情况给出了不同的闭合积分曲线，我们需要分别计算出各个极点到相应曲线圆心的距离，从而判断哪些极点落在了积分路径的内部。判断清楚后，只需要将位于积分回路内部的所有极点的留数相加，最后乘以二倍的圆周率与虚数单位即可得到该路径下的积分值。在第二问中，所有极点都落在了积分曲线内，此时计算全部极点留数之和会发现结果恰好为零，这实际上也对应了该函数在无穷远处的留数为零的性质。