0392-1978 东大工 数学 WEB

傅里叶与拉普拉斯变换 泊松求和公式 傅里叶级数

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(2\pi n+x)$ は一様に収束するフーリエ級数に展開可能な関数とする。このとき、

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(2\pi n+x)=\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\infty }^{\infty }{e}^{irx}{\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)e^{-iry}dy$$

が成り立つことを示せ。ただし、$|g(y)|$ は $-\infty <y<\infty$ で積分可能、連続、有界変動で、$y⟶\pm \infty$ のとき単調に $0$ に収束するものとする。

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解答：
関数 $f(x)$ について $x$ を $x+2\pi$ に置き換えると、

$$f(x+2\pi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(2\pi n+x+2\pi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(2\pi (n+1)+x)$$

$m=n+1$ とおくと、和はすべての整数にわたるため、

$$f(x+2\pi )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g(2\pi m+x)=f(x)$$

となり、$f(x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数である。
題意より $f(x)$ は一様に収束するフーリエ級数に展開可能であるため、次のように複素フーリエ級数で表すことができる。

$$f(x)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }{c}_r{e}^{irx}$$

ここで、複素フーリエ係数 $c_r$ は次式で定義される。

$$c_r=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)e^{-irx}dx$$

$f(x)$ の定義式を代入する。

$$c_r=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(2\pi n+x)\right)e^{-irx}dx$$

級数が一様収束することから、和と積分の順序交換が可能である。

$$c_r=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_0^{2\pi }g(2\pi n+x)e^{-irx}dx$$

各積分において $y=2\pi n+x$ と変数変換を行う。$dy=dx$ であり、積分区間は $x$ が $0$ から $2\pi$ まで変化するとき、$y$ は $2\pi n$ から $2\pi (n+1)$ まで変化する。また、整数 $n$ に対して $e^{i2\pi nr}=\cos (2\pi nr)+i\sin (2\pi nr)=1$ であるため、

$$e^{-irx}=e^{-ir(y-2\pi n)}=e^{-iry}{e}^{i2\pi nr}=e^{-iry}$$

が成り立つ。これを用いて $c_r$ の式を書き換える。

$$\begin{array}{rl}{c}_r& =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{2\pi n}^{2\pi (n+1)}g(y)e^{-iry}dy\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)e^{-iry}dy\end{array}$$

このようにして求まった係数 $c_r$ を $f(x)$ のフーリエ級数展開の式に代入する。

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(2\pi n+x)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }\left(\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)e^{-iry}dy\right)e^{irx}$$

整理すると、与えられた等式が得られる。

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(2\pi n+x)=\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\infty }^{\infty }{e}^{irx}{\int }_{-\infty }^{\infty }g(y)e^{-iry}dy$$

(証明終)

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本题要求证明的是数学分析和信号处理中非常著名的泊松求和公式。这个公式的核心思想是通过将一个非周期函数进行平移并无限叠加，构造出一个新的周期函数。由于我们人为构造出的函数具有平移周期，因此可以对其进行常规的傅里叶级数展开。在计算该周期函数的傅里叶系数时，对单个周期内的积分恰好可以将原非周期函数在整个实数轴上的平移片段拼接起来，从而将周期内的积分转化为从负无穷到正无穷的广义积分。题目中给出的一致收敛以及绝对可积等条件，从严谨的数学分析角度保证了在推导过程中求和号与积分号能够合法地交换顺序。泊松求和公式极其优美地建立起了连续傅里叶变换与离散傅里叶级数之间的桥梁，在解析数论以及抽样定理等领域都有着举足轻重的应用。