0391-1978 东大工 数学 WEB

微分积分 星形线

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ によって与えられる曲線がある。この曲線の表す図形について次の問に答えよ。

(1) 図形の概形を描け。

(2) 図形によって囲まれる面積を求めよ。

(3) 周の全長を求めよ。

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解答：
(1)
与えられた曲線はアステロイド（星形線）であり、媒介変数 $\theta$ を用いて次のように表される。

$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=a{\sin }^3\theta \end{array}(0\le \theta \le 2\pi )$$

方程式において $x$ と $y$ の次数が偶数乗に相当するため、図形は $x$ 軸、$y$ 軸、および原点に関して対称である。
座標軸との交点は $(a,0),(0,a),(-a,0),(0,-a)$ である。
第一象限（$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）において、$x$ は $a$ から $0$ に単調減少し、$y$ は $0$ から $a$ に単調増加する、下に凸の曲線となる。概形はこれら4つの頂点を結ぶ内側にへこんだ星形となる。

(2)
図形の対称性より、求める面積 $S$ は第一象限の部分の面積の4倍である。

$$S=4{\int }_0^{a}ydx$$

媒介変数 $\theta$ による置換積分を行う。$dx=-3a{\cos }^2\theta \sin \theta d\theta$ であり、$x$ が $0$ から $a$ まで変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi }{2}$ から $0$ まで変化する。

$$\begin{array}{rl}S& =4{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0(a{\sin }^3\theta )(-3a{\cos }^2\theta \sin \theta )d\theta \\ & =12a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^4\theta {\cos }^2\theta d\theta \\ & =12a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^4\theta -{\sin }^6\theta )d\theta \end{array}$$

ウォリスの公式を用いて積分を計算する。

$$\begin{array}{rl}S& =12a^2\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\right)\\ & =12a^2\left(\frac{3\pi }{16}-\frac{5\pi }{32}\right)\\ & =12a^2\left(\frac{\pi }{32}\right)\end{array}$$ $$\boxed{S=\frac{3\pi }{8}{a}^2}$$

(3)
周の全長 $L$ も同様に対称性を利用し、第一象限の弧長の4倍として計算する。

$$L=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2}d\theta$$

各導関数は $\frac{dx}{d\theta }=-3a{\cos }^2\theta \sin \theta$ および $\frac{dy}{d\theta }=3a{\sin }^2\theta \cos \theta$ であるから、

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2& =9a^2{\cos }^4\theta {\sin }^2\theta +9a^2{\sin }^4\theta {\cos }^2\theta \\ & =9a^2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta ({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )\\ & =9a^2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \end{array}$$

$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ において $\sin \theta \cos \theta \ge 0$ であるため、

$$\begin{array}{rl}L& =4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3a\sin \theta \cos \theta d\theta \\ & =12a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}\sin 2\theta d\theta \\ & =6a{\left[-\frac{1}{2}\cos 2\theta \right]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =6a\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\end{array}$$ $$\boxed{L=6a}$$

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这道题主要考察了参数方程在微积分中的应用，核心求解对象是经典的星形线。第一问虽然要求画出图形，但在文字作答中可以通过引入三角函数的参数方程，清晰地指出曲线的对称性、坐标轴交点以及在第一象限的单调和凹凸特征来准确描述其几何性质。第二问和第三问充分利用了星形线关于坐标轴对称的特点，将积分区间限定在第一象限，计算四分之一的面积和弧长后再乘以四，这能大幅简化运算流程并避免符号错误。在面积的计算中，将直角坐标下的积分转化为参数方程积分，并利用华里士公式（点火公式）快速求解三角函数高次幂的定积分是非常高效的方法。弧长计算则直接代入参数方程的弧长微元公式，通过提取公因式并利用基本三角恒等式化简根号内的式子，最后完成简单的定积分计算即可得出结果。