0390-1978 东大工 数学 WEB

http://uc-garden.dyndns.org/testprint/labTeX/m_past/

线性代数 正交变换

実数を要素とする正方行列 $A$ の転置行列を $A^t$ とするとき、$I$ を単位行列として、

$$A^t\cdot A=I$$

を満たす行列 $A$ を直交行列という。このとき、

(1) $n$次元ベクトル空間の任意のベクトル $x$ は直交行列 $A$ による1次変換を行ってもその大きさは不変であることを示せ。

(2) 3次元実数空間での正規直交系について、

$$x_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)x_2=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

で表される2つのベクトル $x_1,x_2$ がある。$x_1$ を $x_2$ に1次変換する直交行列を1つ求めよ。

(3) (2)の条件を満たす直交行列が無数に存在することを幾何学的に説明せよ。

---

解答：
(1)
任意の $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ の大きさの2乗は $\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2={\mathbf{x}}^t\mathbf{x}$ である。
直交行列 $A$ による1次変換後のベクトル $A\mathbf{x}$ の大きさの2乗は、

$$\Vert A\mathbf{x}{\Vert }^2=(A\mathbf{x}{)}^t(A\mathbf{x})={\mathbf{x}}^t{A}^{t}A\mathbf{x}$$

$A$ は直交行列であるため $A^{t}A=I$ が成り立つ。

$$\Vert A\mathbf{x}{\Vert }^2={\mathbf{x}}^{t}I\mathbf{x}={\mathbf{x}}^t\mathbf{x}=\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2$$

$\Vert \mathbf{x}\Vert \ge 0,\Vert A\mathbf{x}\Vert \ge 0$ より、$\Vert A\mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$ となる。
したがって、ベクトル $\mathbf{x}$ の大きさは不変である。(証明終)

(2)
ベクトル ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ のノルムは共に $1$ である。$\mathbf{y}={\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2$ とおく。

$$\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$$

$\mathbf{y}$ を法線ベクトルとする平面に関する鏡映変換を表すハウスホルダー行列 $H=I-\frac{2}{{\mathbf{y}}^t\mathbf{y}}\mathbf{y}{\mathbf{y}}^t$ を構成する。
定義より $H\mathbf{y}=-\mathbf{y}$ すなわち $H({\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2)=-{\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2$ である。
また、${\mathbf{y}}^t({\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2)=\Vert {\mathbf{x}}_1{\Vert }^2-\Vert {\mathbf{x}}_2{\Vert }^2=0$ より ${\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2$ は $\mathbf{y}$ に直交するため、$H({\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2)={\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2$ が成り立つ。
両式を足し合わせると $2H{\mathbf{x}}_1=-2{\mathbf{x}}_2$ となり、$H{\mathbf{x}}_1=-{\mathbf{x}}_2$ を得る。
よって、$A=-H$ とおけば、$A$ は直交行列かつ $A{\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2$ を満たす。

$${\mathbf{y}}^t\mathbf{y}={\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+0^2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$$ $$\mathbf{y}{\mathbf{y}}^t=\left(\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1-\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3-2\sqrt{2}}{4}& \frac{1-\sqrt{2}}{4}& 0\\ \frac{1-\sqrt{2}}{4}& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$ $$\begin{array}{rl}\frac{2}{{\mathbf{y}}^t\mathbf{y}}\mathbf{y}{\mathbf{y}}^t& =\frac{4}{2-\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}\frac{3-2\sqrt{2}}{4}& \frac{1-\sqrt{2}}{4}& 0\\ \frac{1-\sqrt{2}}{4}& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & =\frac{2+\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{ccc}3-2\sqrt{2}& 1-\sqrt{2}& 0\\ 1-\sqrt{2}& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1-\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 1+\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}H& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1-\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 1+\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

したがって、求める直交行列 $A$ は

$$\boxed{A=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)}$$

(3)
直交行列は、3次元空間において原点を固定し、線分の長さやなす角を保つ変換（回転や鏡映など）を表す。
ある直交変換によって ${\mathbf{x}}_1$ を ${\mathbf{x}}_2$ に移した後、さらに ${\mathbf{x}}_2$ を軸として任意の角度 $\theta$ で回転させる変換を考える。
この追加の回転変換も長さや角度を保つため直交行列で表され、かつ ${\mathbf{x}}_2$ の位置を変化させない。
したがって、これらの変換の合成もまた直交変換（直交行列）であり、${\mathbf{x}}_1$ を ${\mathbf{x}}_2$ に移すという条件を満たす。
${\mathbf{x}}_2$ を軸とする回転の角度 $\theta$ は無数に選べるため、条件を満たす直交変換（直交行列）も無数に存在する。

---

本题主要考察线性代数中正交矩阵的性质及其几何意义。第一问通过正交矩阵的定义直接推导，证明正交变换能够保持向量的内积和长度不变，这是正交变换最核心的基础性质。第二问要求寻找一个将特定单位向量映射到另一个特定单位向量的正交矩阵，利用豪斯霍尔德反射可以十分巧妙地解决这类问题。豪斯霍尔德变换代表关于某个超平面的反射，通过选取两个向量之和作为超平面的法向量构造出反射矩阵，该矩阵恰好能将原向量映射为目标向量的相反数，因此对其整体取负即可得到所求的矩阵。第三问需要从几何直观出发进行解释，正交矩阵在三维空间中对应着固定原点的刚体变换。当我们已经找到一个将初态向量映射到末态向量的变换后，再施加任何一个以末态向量为中心轴的旋转，由于该旋转不改变末态向量的位置，整体的组合变换依然能完成原有的映射要求。由于绕轴旋转的角度有无穷多种选择，满足条件的正交矩阵自然也有无穷多个。