0387-2005 东大工 机械 P116

流体力学 动量方程 伯努利方程 缩流现象

上図のような断面の，奥行き方向に一様な二次元形状の容器を考える．水の密度を$\rho$，重力加速度を$g$とする．容器の周囲は，大気圧$p_0$一定の空気である．容器の側面には幅$L$のスリットが設けてあり，そこから水が縮流して流出する．水は容器上方から静かに補充され，水面高さは一定とする．
ここで，検査面 $abcdef$ を設定する．面$de$での水の圧力は大気圧$p_0$と等しく速度$u$は一様であるとし，そこでの流れの幅を$l$と置く．また，壁面摩擦力は無視できるものとする．
このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 検査面 $abcdef$ で，$x$方向（水平方向）の運動量の釣り合いの式を導け．ただし，スリット幅$L$は水深に比べ十分に小さく，面$ab$に働く圧力は平均水深$h$での水圧と等しく一定と近似できる．また，面$af$及び面$bc$から流入する水の$x$方向の運動量成分は無視する．
(2) 容器上方の水面から面$de$までの流線に沿った流れは穏やかで損失はないものとみなせる．このとき，面$de$からの吹き出し速度$u$を求めよ．なお，容器は十分に大きく，容器上方の水面での水の速度はゼロと近似できる．
(3) スリットから流出する水の流量（容器単位奥行きあたり）を，スリット幅$L$，水深$h$，重力加速度$g$を用いて記述せよ．ただし，面$de$はスリットから十分近く，面$de$での水の速度の重力方向（$y$方向）成分は無視する．
(4) 実際の流れでは，面$af$及び面$bc$から流入する水は$x$方向の運動量成分を持っている．この実際の流れと，設問(1)～(3)で仮定した検査面に流入する流れの$x$方向運動量成分を無視した場合とを比べたとき，面$de$から流出する流れにはどのような違いがあるか，説明せよ．
(5) 流出する水の流量を増やすためにはどのような工夫が有効かを論ぜよ．スケッチを用いても良い．ただし，外部からの動力を用いることはできない．

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解答：

(1)
検査面 $abcdef$ における $x$ 方向の運動量と力の釣り合いを考える．
流入する $x$ 方向の運動量は $0$，流出する運動量は $\rho l{u}^2$ である．
一方，検査面に働く $x$ 方向の力は，面 $ab$ における圧力による力から，面 $de$ と自由表面 $cd$, $ef$ における大気圧による力の $x$ 成分を引いたものである．

$$\begin{array}{rl}\sum F_x& =M_{out}-M_{in}\\ (p_0+\rho gh)L-p_0(L-l)-p_{0}l& =\rho l{u}^2-0\end{array}$$

これを整理して，

$$\boxed{\rho ghL=\rho l{u}^2}$$

(2)
水面と面 $de$ を結ぶ流線に対してベルヌーイの定理を適用する．

$$p_0+\rho gh+0=p_0+0+\frac{1}{2}\rho u^2$$

これを $u$ について解いて，

$$\boxed{u=\sqrt{2gh}}$$

(3)
(1)と(2)の結果より，$l$ を求める．

$$\begin{array}{rl}\rho ghL& =\rho l(2gh)\\ l& =\frac{L}{2}\end{array}$$

したがって，単位奥行きあたりの流量 $Q$ は，

$$\boxed{Q=lu=\frac{L}{2}\sqrt{2gh}}$$

(4)
面 $af$ および $bc$ からの流入が $x$ 方向の運動量 $M_{in,x}>0$ を持つ場合，運動量の釣り合い式は $\rho ghL+M_{in,x}=\rho l{u}^2$ となる．
ベルヌーイの定理により流速 $u$ は不変であるため，左辺の増加に伴い流出幅 $l$ が大きくなる．

$$\boxed{\text{流出幅 }l\text{ が大きくなり，その結果として流出する流量が増加する．}}$$

(5)
流出幅 $l$ の減少（縮流）を防ぐことで流量を増加させることができる．
スリットの角を丸めて滑らかな形状（ベルマウス形状）とし，剥離を防いで縮流を抑える．

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本题考察了流体力学中经典的二维孔口射流（类似博尔达开口）的缩流现象。

在第一问的动量方程建立中，很多时候容易忽略自由射流的上下表面（即图中的 $cd$ 和 $ef$ 面）。实际上，射流脱离壁面后，其边界上的压强等于大气压 $p_0$。这两个曲面在水平方向的投影高度之和刚好为 $L-l$。因此，控制体在水平方向受到的外力不仅有左侧 $ab$ 面的静水压力 $(p_0+\rho gh)L$ 和右侧出口面的大气压力 $p_{0}l$，还有射流侧表面的大气压力 $p_0(L-l)$。将它们抵消后，实际推动流体加速的净作用力就是 $\rho ghL$。

通过第一问的动量方程和第二问的伯努利方程联立，我们在第三问中得到了理论的收缩系数 $C_c=l/L=0.5$。这意味着在理想情况下，射流的最终宽度只有开口宽度的一半。

在第四问中，题目探讨了理论假设与实际情况的差异。当考虑流体从侧面进入控制体时带来的初始水平动量，这就相当于为出流提供了额外的“推力”。由于出流速度 $u$ 完全由水头 $h$ 决定（不受水平动量影响），额外的动量只能通过增加出口宽度 $l$ 来平衡。因此实际出流时的缩流效应会减弱，流量也相应变大。

第五问是一个经典的工程应用问题。既然流量的损失主要来自于缩流效应（流线发生剧烈弯曲导致的截面收缩），那么最有效的无动力改进方法就是通过将出口锐角改为圆角（钟形口/喇叭口，bell-mouth），引导流线平滑过渡，消除流动分离。这样可以使得收缩系数 $C_c$ 接近于 1，从而在相同的压头下大幅增加流量。除此之外，在出口外侧连接一段渐扩管（扩张形喷管），利用伯努利原理降低射流出口处（喉部）的压强以增加流速，也是一种常见且有效的手段。