0386-2005 东大工 机械 P125

传热学 热辐射 能量守恒 对流换热

下図に示すように高温の平板1（片面の表面積 $S$）の温度を，対面させた別の平板0（片面の表面積 $S$）の温度を測定することで，非接触で計測することを考える．但し，平板0と1の間は真空で放射のみで熱交換をしているとし，平板0，1はそれぞれ透過率0，吸収率 ${\epsilon }_0,{\epsilon }_1$ の灰色体であることがわかっている．さらに平板0内部には，図のように幅 $d$ の流路があり，流路に流体を流して，平板0を冷却することもできる構造になっている．
簡単のため，向かい合う平板間の形態係数は1とし，平板0のA側と平板1のB側の放射は無視，両平板のそれぞれの温度は常に均一とする．また，$\sigma$はステファン・ボルツマン定数である．

(1) 平板0が平板1へ放射する熱流束 $q_{01}$，平板1から平板0に放射される熱流束 $q_{10}$が，それぞれ以下の式の様に表現できることを，式を用いて示せ．

$$q_{01}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma T_0^4}{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)},q_{10}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma T_1^4}{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)}$$

(2) A側の流路に流体をながさず，平板0を冷却せずに，平板0の温度 $T_0$ を熱電対で測定すると，一定昇温速度 $V_T$ で変化した．この時の平板1の温度 $T_1$ を平板0の温度 $T_0$ と輻射物性値を用いて表せ．但し，平板0の熱容量 $M_0$ は既知とする．

(3) 平板0の流路（流路の全表面積 $S_c$）に熱伝導率 $\lambda$ の流体を流して平板0を冷却したところ，温度の上昇がとまり，流体の入口，出口の混合平均温度が $T_{in},T_{out}$ となる定常状態となった．
また，流路幅は流れ方向の平板長さに対して十分に狭く，流れは層流であった．
この時，流路幅 $d$ を代表長さとしたヌセルト数が流路壁の至る所で等しいとすると，平板1の温度は，$T_0$ と $T_{in},T_{out}$ が既知であれば推定できることを，式を用いて説明せよ．但し，$T_{in}$ と $T_{out}$ の差は十分に小さく，流体の代表温度は $(T_{in}+T_{out})/2$ とできるとする．

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解答：

(1)
平板0自身の放射エネルギーは ${\epsilon }_0\sigma T_0^4$ である．これが平板1に到達した際に吸収される成分は初めに ${\epsilon }_1{\epsilon }_0\sigma T_0^4$ となる．
平板1で反射された $(1-{\epsilon }_1){\epsilon }_0\sigma T_0^4$ のエネルギーは，平板0で再度反射され $(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1){\epsilon }_0\sigma T_0^4$ となり，再び平板1へ到達する．
このように無限回の多重反射を考慮して総和をとると，

$$\begin{array}{rl}{q}_{01}& ={\epsilon }_1{\epsilon }_0\sigma T_0^4\sum _{k=0}^{\infty }\{(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1){\}}^k\\ & =\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma T_0^4}{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)}\end{array}$$

同様に，平板1の放射エネルギー ${\epsilon }_1\sigma T_1^4$ について多重反射を考慮し，平板0に吸収される総熱流束を求めると，

$$\begin{array}{rl}{q}_{10}& ={\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma T_1^4\sum _{k=0}^{\infty }\{(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1){\}}^k\\ & =\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma T_1^4}{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)}\end{array}$$

(証明終)

(2)
平板0に関する熱収支式は，

$$S(q_{10}-q_{01})=M_0{V}_T$$

(1)の結果を代入して整理すると，

$$\frac{S{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma (T_1^4-T_0^4)}{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)}=M_0{V}_T$$ $$T_1^4=T_0^4+\frac{M_0{V}_T\{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)\}}{S{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma }$$ $$\boxed{T_1={\left[T_0^4+\frac{M_0{V}_T\{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)\}}{S{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma }\right]}^{\frac{1}{4}}}$$

(3)
流体の熱伝達率 $h$ はヌセルト数 $Nu$ を用いて次のように表される．

$$h=\frac{Nu\cdot \lambda }{d}$$

定常状態における平板0の熱収支式は，輻射による正味の受熱量が流体への対流熱伝達量と釣り合うため，

$$S(q_{10}-q_{01})=h{S}_c\left(T_0-\frac{T_{in}+T_{out}}{2}\right)$$

(1)の結果および熱伝達率の式を代入すると，

$$\frac{S{\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma (T_1^4-T_0^4)}{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)}=\frac{Nu\cdot \lambda \cdot S_c}{d}\left(T_0-\frac{T_{in}+T_{out}}{2}\right)$$

これを $T_1$ について解くと，

$$\begin{array}{rl}{T}_1& ={\left[T_0^4+\frac{Nu\cdot \lambda \cdot S_c\{1-(1-{\epsilon }_0)(1-{\epsilon }_1)\}}{S\cdot d\cdot {\epsilon }_0{\epsilon }_1\sigma }\left(T_0-\frac{T_{in}+T_{out}}{2}\right)\right]}^{\frac{1}{4}}\end{array}$$

右辺の変数のうち，$T_0,T_{in},T_{out}$ は既知とされており，また ${\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\sigma ,\lambda ,S,S_c,d$ は物性値や幾何学的パラメータとして既知である．十分発達した層流の場合，$Nu$ は定数として扱うことができるため，右辺のすべてのパラメータが確定し，未知の温度 $T_1$ を推定できる．(証明終)

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题目涉及到无穷多次反射引起的辐射换热，首先平板放射出去的热量由于对方也是灰体会产生反射，这些反射的能量在两块平行板之间来回传递并被依次部分吸收。通过等比数列求和就可以得到最终双方实际交换的辐射热流束表达式。随后要求针对平板自身建立能量守恒方程，在无流体冷却的时候，净吸收的辐射热量完全用于增加自身的内能转化为显热引起温度上升。当内部通入流体并且达到稳态之后，平板不再升温，吸收的辐射热完全通过对流换热的形式传递给流体。此时表面传热系数可以通过定义努塞尔数建立与流体导热系数和特征尺寸之间的关系，代入稳态热平衡方程即可显式求解出对方平板的温度。这个推导过程的核心在于对系统不同状态下能量守恒关系的应用以及热辐射多重反射计算定律的掌握。