0385-2005 东大工 机械 P118

材料力学 薄肉円筒 主応力 降伏条件

図に示す通り，剛体壁に一端が固定されている内半径$R$，厚さ$t$の薄肉円筒の自由端（右端）に，ねじりトルク$T$と引張り力$F$が同時に作用している．ねじりトルク$T$は円筒中心軸（$x$軸）まわり，引張り力$F$は円筒中心軸（$x$軸）方向に作用している．この場合の応力は薄肉円筒内で一様であり，薄肉円筒の曲率および自重が応力に及ぼす影響は無視できるものと考え，以下の問いに答えよ．

（１）薄肉円筒内に生じる垂直応力$\sigma (={\sigma }_{xx})$，せん断応力$\tau$を，$R,t,F,T$を用いて表せ．なお，$R\gg t$とする．

（２）主応力${\sigma }_1,{\sigma }_2$を与える式を，$\sigma$と$\tau$を用いて表せ．

（３）最大せん断応力${\tau }_{\max }$を，$\sigma$と$\tau$を用いて表せ．

（４）材料強度試験において，荷重をゼロより徐々に増加させると，まず材料は弾性変形し，ある力を超えると塑性変形が始まる．この塑性変形が始まる限界の応力を，初期降伏応力と呼ぶ．材料内部に発生している最大せん断応力${\tau }_{\max }$がある限界を超えると，塑性変形が始まるとの説が広く知られている．$F=0$（ねじりのみ）で試験を行った結果，せん断応力$\tau$が値$k$の時点で（$\tau =k$の時点で），塑性変形が始まるとの結果を得た．$k$は材料定数であり，初期せん断降伏応力と呼ばれている．
$T=0$（引張りのみ）で試験を行った場合，塑性変形が始まる時点（初期降伏した時点）での引張り応力$\sigma$は，$k$を用いてどのように表されるのか答えよ．導出の過程も示すこと．

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解答：

(1)
$R\gg t$より，薄肉円筒の断面積$A$および断面二次極モーメント$I_p$は，

$$A\approx 2\pi Rt$$ $$I_p\approx 2\pi R^{3}t$$

垂直応力$\sigma$およびせん断応力$\tau$は，

$$\sigma =\frac{F}{A}$$ $$\tau =\frac{TR}{I_p}$$

よって，

$$\boxed{\begin{array}{rl}\sigma & =\frac{F}{2\pi Rt}\\ \tau & =\frac{T}{2\pi R^{2}t}\end{array}}$$

(2)
平面応力状態において，${\sigma }_x=\sigma ,{\sigma }_y=0,{\tau }_{xy}=\tau$であるから，主応力${\sigma }_1,{\sigma }_2$は，

$${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$

これらを代入して，

$$\boxed{{\sigma }_{1,2}=\frac{\sigma }{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{\sigma }{2}\right)}^2+{\tau }^2}}$$

(3)
最大せん断応力${\tau }_{\max }$は主応力差の半分，すなわち応力モール円の半径に等しいため，

$${\tau }_{\max }=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}$$

(2)の式を用いて整理すると，

$$\boxed{{\tau }_{\max }=\sqrt{{\left(\frac{\sigma }{2}\right)}^2+{\tau }^2}}$$

(4)
$F=0$（ねじりのみ）の場合，$\sigma =0$となる．(3)の式より最大せん断応力は，

$${\tau }_{\max }=\sqrt{0+{\tau }^2}=\tau$$

$\tau =k$で塑性変形が始まるため，降伏の限界条件は，

$${\tau }_{\max }=k$$

次に，$T=0$（引張りのみ）の場合，$\tau =0$となる．(3)の式より最大せん断応力は，

$${\tau }_{\max }=\sqrt{{\left(\frac{\sigma }{2}\right)}^2+0}=\frac{\sigma }{2}$$

限界条件${\tau }_{\max }=k$に達した時点で塑性変形が始まるため，

$$\frac{\sigma }{2}=k$$

これを$\sigma$について解くと，

$$\boxed{\sigma =2k}$$

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本题主要考察材料力学中薄壁圆筒在拉伸与扭转组合受载下的应力分析以及基于最大切应力理论的屈服条件计算。第一问利用薄壁假设近似计算出圆筒的横截面积和极惯性矩，由于壁厚远小于半径，横截面积可以直接用圆周长乘壁厚近似得出，极惯性矩同理，进而根据拉伸的正应力公式和圆轴扭转的切应力公式写出结果。第二问代入平面应力状态的解析公式求解主应力，圆筒表面一点受到轴向拉应力和扭转切应力，而环向应力为零，代入一般公式即可化简。第三问要求最大切应力，它在数值上等于应力莫尔圆的半径，即前问求得的两个主应力之差的一半。第四问利用题目给定的最大切应力屈服理论进行推导。题目指出纯扭转时切应力达到常数发生屈服，这意味着材料的极限最大切应力即为该常数，将此作为判定条件，代入纯拉伸状态下的最大切应力表达式中使其等于该常数，即可解出纯拉伸发生屈服时对应的拉应力。