0382-2005 东大工 机械 P120

流体力学 哈根-泊肃叶流 管内层流

下図に示されているような半径 $a$ の真直な円管内を流れる非圧縮性の粘性流体について考える．
この流体は次ページに示す連続の式とナビエ・ストークスの方程式に従うものとする．

流体は入口部で一定の速度分布 $\mathbf{u}=(0,0,u_m)$ で円管に流入し，充分に長い助走区間を通り十分に発達しているとする．このとき，流れは層流で速度分布は管軸に平行に流れる定常流であり，圧力 $P$ は $z$ の関数である．以下の問いに答えよ．
（１）流れが十分に発達した位置での円管内の速度分布を求める際に必要となる微分方程式を記述せよ．

（２）円管の壁面に働くせん断応力を ${\tau }_w$ としたとき，円管内 $z$ 方向に働く圧力勾配 $-\frac{dP}{dz}$ を ${\tau }_w$ を用いて表せ．

（３）円管内の速度の解を求め，その分布をスケッチせよ．

（４）円管内の平均流速 $u_m$ を，円管の壁面に働くせん断応力 ${\tau }_w$ を用いて表せ．

（５）円管の摩擦抵抗係数は壁面せん断応力 ${\tau }_w$ の絶対値を動圧で無次元化することにより，次式で与えられる．

$$c_f=\frac{|{\tau }_w|}{\frac{1}{2}\rho u_m^2}$$

流れを層流とした場合の円管内の管摩擦係数 $c_f$ をレイノルズ数を用いて表せ．ただし，レイノルズ数の代表長さは直径 $2a$，代表速度は平均速度 $u_m$ とする．

円筒座標系における速度分布 $\mathbf{u}=(u_r,u_{\varphi },u_z)$ と圧力 $P$ に関する連続の式とナビエ・ストークスの方程式

連続の式：

$$\frac{1}{r}\left(r\frac{\partial u_r}{\partial r}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial u_{\varphi }}{\partial \varphi }+\frac{\partial u_z}{\partial z}=0$$

ナビエ・ストークスの方程式：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u_r}{\partial t}+\left(u_r\frac{\partial }{\partial r}+u_{\varphi }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }+u_z\frac{\partial }{\partial z}\right)u_r-\frac{{u_{\varphi }}^2}{r}& =-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\mu }{\rho }\left({\nabla }^2{u}_r-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_{\varphi }}{\partial \varphi }-\frac{u_r}{r^2}\right)\\ \frac{\partial u_{\varphi }}{\partial t}+\left(u_r\frac{\partial }{\partial r}+u_{\varphi }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }+u_z\frac{\partial }{\partial z}\right)u_{\varphi }+\frac{u_r{u}_{\varphi }}{r}& =-\frac{1}{\rho r}\frac{\partial P}{\partial \varphi }+\frac{\mu }{\rho }\left({\nabla }^2{u}_{\varphi }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \varphi }-\frac{u_{\varphi }}{r^2}\right)\\ \frac{\partial u_z}{\partial t}+\left(u_r\frac{\partial }{\partial r}+u_{\varphi }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }+u_z\frac{\partial }{\partial z}\right)u_z& =-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial z}+\frac{\mu }{\rho }{\nabla }^2{u}_z\end{array}$$

ここで，${\nabla }^2=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$ であり，$\rho$は密度、$\mu$は粘性係数である。

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解答：

（１）
円柱座標系 $(r,\theta ,z)$ を用いる．定常，軸対称，および十分に発達した層流であることから，速度成分は $u_r=0,u_{\theta }=0,u_z=u(r)$ となる．流体の粘性係数を $\mu$ とすると，ナビエ・ストークス方程式の $z$ 成分は以下のようになる．

$$\boxed{\frac{dP}{dz}=\mu \left(\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}\right)=\frac{\mu }{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right)}$$

（２）
半径 $a$，長さ $dz$ の円管内の流体微小要素に働く力の釣り合いを考える．圧力による力と壁面せん断応力による力が釣り合うため，

$$\pi a^{2}P-\pi a^2\left(P+\frac{dP}{dz}dz\right)-2\pi adz{\tau }_w=0$$ $$-\pi a^2\frac{dP}{dz}dz=2\pi adz{\tau }_w$$ $$\boxed{-\frac{dP}{dz}=\frac{2{\tau }_w}{a}}$$

（３）
（１）の微分方程式を積分する．

$$r\frac{du}{dr}=\frac{1}{2\mu }\frac{dP}{dz}{r}^2+C_1$$

管中心（$r=0$）で速度勾配は有限であるため，$C_1=0$．さらに積分して，

$$u=\frac{1}{4\mu }\frac{dP}{dz}{r}^2+C_2$$

壁面（$r=a$）で滑りなし条件より $u=0$ であるため，$C_2=-\frac{1}{4\mu }\frac{dP}{dz}{a}^2$．よって速度分布は，

$$\boxed{u(r)=-\frac{1}{4\mu }\frac{dP}{dz}(a^2-r^2)}$$

（スケッチ：速度分布は管中心で最大となり，管壁面でゼロとなる放物線を描く。作図は省略する。）

（４）
平均流速 $u_m$ は断面全体の流量を断面積で割ることで求められる．

$$u_m=\frac{1}{\pi a^2}{\int }_0^{a}u(r)\cdot 2\pi rdr=\frac{2}{a^2}{\int }_0^a\left(-\frac{1}{4\mu }\frac{dP}{dz}(a^2-r^2)\right)rdr$$ $$u_m=-\frac{1}{2\mu a^2}\frac{dP}{dz}{\left[\frac{a^2{r}^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]}_0^a=-\frac{a^2}{8\mu }\frac{dP}{dz}$$

（２）の結果 $-\frac{dP}{dz}=\frac{2{\tau }_w}{a}$ を代入すると，

$$u_m=\frac{a^2}{8\mu }\left(\frac{2{\tau }_w}{a}\right)=\frac{a{\tau }_w}{4\mu }$$ $$\boxed{u_m=\frac{a{\tau }_w}{4\mu }}$$

（５）
（４）より壁面せん断応力 ${\tau }_w$ は ${\tau }_w>0$ であり，

$$|{\tau }_w|={\tau }_w=\frac{4\mu u_m}{a}$$

摩擦抵抗係数 $c_f$ の定義式に代入する．

$$c_f=\frac{{\tau }_w}{\frac{1}{2}\rho u_m^2}=\frac{\frac{4\mu u_m}{a}}{\frac{1}{2}\rho u_m^2}=\frac{8\mu }{\rho u_{m}a}$$

レイノルズ数 $Re$ は代表長さ $2a$，代表速度 $u_m$ を用いて $Re=\frac{\rho (2a)u_m}{\mu }$ と定義される．したがって，

$$c_f=\frac{8\mu }{\rho u_{m}a}=\frac{16\mu }{\rho u_m(2a)}=\frac{16}{Re}$$ $$\boxed{c_f=\frac{16}{Re}}$$

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这道题目考察了流体力学中的经典问题即圆管内的哈根-泊肃叶层流流动。第一小问要求写出充分发展情况下的控制方程，在极坐标下由于流动是轴对称的且仅有轴向速度，对流项完全为零，压力梯度完全由流体层间的粘性切应力来平衡。第二小问通过在管段上选取微元流体圆柱体进行简单的力平衡，就可以得到压力梯度与管壁处切应力的直接代数关系。第三小问是标准的二阶常微分方程积分求解过程，利用中心处的速度梯度为零以及壁面的无滑移边界条件定出两个积分常数，最后得到管内速度呈现经典的抛物线分布。第四小问基于抛物线分布进行截面积分求得平均流速，然后再代入第二小问得到的压力梯度与切应力的关系式，将平均速度表示成与管壁切应力成正比的形式。最后一小问引入了范宁摩擦系数的公式定义，并将前面求得的平均速度与切应力的线性关系代入其中，最后利用管流雷诺数的定义化简即可得到结果。该结果在流体力学中常用于圆管内层流状态下沿程阻力系数的理论计算。