0381-2005 东大工 机械 P113

热力学 理想气体 奥托循环 比热容

気体の熱的性質についての以下の設問に答えよ．ただし，$P$ は圧力，$V$ は比体積，$T$ は絶対温度，$R$ は気体定数，$c_v$ は定積比熱，$c_p$ は定圧比熱，$\kappa$ は比熱比とする．また気体は理想気体であるとする．

(1) 上の図は，三種の気体の定圧比熱および比熱比を温度の関数として示したものであり，気体は二酸化炭素，窒素，アルゴンのいずれかである．A, B, Cがいずれであるかを答え，その根拠も示せ．

(2) 断熱圧縮(状態 1$\to$状態 2)，等積加熱(状態 2$\to$状態 3)，断熱膨張(状態 3$\to$状態 4)，等積冷却(状態 4$\to$状態 1)の4過程からなるオットーサイクルを考える．定積比熱 $c_v$ および比熱比 $\kappa$ は温度に依らず一定であり，また状態 1の圧力 $P_1$，比体積 $V_1$，圧縮比 $\epsilon =V_1/V_2$ ($V_2$ は状態 2の比体積)，および等積加熱における単位質量あたりの加熱量 $Q$ も既知とする．
このサイクルの $P$-$V$ 線図を描き，各状態(2, 3, 4)の圧力値を示せ．

(3) 上記サイクルの，正味の仕事量を加熱量 $Q$ で除した熱効率を求めよ．

(4) 先に(1)で示した気体Cの様に温度上昇と共に比熱が増加する場合に，一定の場合と比べて $P$-$V$ 線図がいかに変化するかを，(2)で描いた図上に破線にて表現せよ．ただし $T=T_1$ ($T_1$ は状態1の絶対温度)において両者の比熱は等しく，圧縮比も等しいとする．

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解答：

(1)
理想気体の分子運動論より、単原子分子は定圧比熱および比熱比が温度によらず一定である（$c_p/R=2.5$, $\kappa \approx 1.67$）。二原子分子は常温で並進と回転の自由度を持ち（$c_p/R\approx 3.5$, $\kappa \approx 1.4$）、高温で振動の自由度が励起され比熱が微増する。多原子分子は振動の自由度が励起されやすく、温度上昇に伴う比熱の増加および比熱比の減少が最も著しい。これらとグラフの挙動を対応させると以下のようになる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{A: アルゴン}\\ & \text{B: 窒素}\\ & \text{C: 二酸化炭素}\end{array}}$$

根拠：グラフAは比熱・比熱比に温度依存性がないため単原子分子のアルゴン。グラフBは $c_p/R\approx 3.5$, $\kappa \approx 1.4$ から始まり温度依存性が比較的小さいため二原子分子の窒素。グラフCは比熱の増加と比熱比の減少が顕著であるため多原子分子の二酸化炭素である。

(2)
（$P$-$V$線図は、1→2への断熱圧縮の曲線、2→3への等積加熱の鉛直上昇線、3→4への断熱膨張の曲線、4→1への等積冷却の鉛直下降線からなる閉ループである。）
状態方程式 $PV=RT$ およびマイヤーの式より $R=c_p-c_v=c_v(\kappa -1)$ である。
状態2：状態1からの断熱圧縮過程 $P_1{V}_1^{\kappa }=P_2{V}_2^{\kappa }$ より、

$$\boxed{P_2=P_1{\epsilon }^{\kappa }}$$

状態3：状態2からの等積加熱過程（$V_3=V_2=V_1/\epsilon$）において、加熱量 $Q$ は、

$$Q=c_v(T_3-T_2)=\frac{R}{\kappa -1}(T_3-T_2)=\frac{P_3{V}_3-P_2{V}_2}{\kappa -1}=\frac{V_1}{\epsilon (\kappa -1)}(P_3-P_2)$$
これを $P_3$ について解き、$P_2$ を代入すると、

$$\boxed{P_3=P_1{\epsilon }^{\kappa }+\frac{\epsilon Q(\kappa -1)}{V_1}}$$

状態4：状態3からの断熱膨張過程 $P_3{V}_3^{\kappa }=P_4{V}_4^{\kappa }$（$V_4=V_1$）より、

$$P_4=P_3{\left(\frac{V_3}{V_4}\right)}^{\kappa }=P_3{\left(\frac{1}{\epsilon }\right)}^{\kappa }$$
$P_3$ を代入して整理すると、

$$\boxed{P_4=P_1+\frac{Q(\kappa -1)}{V_1{\epsilon }^{\kappa -1}}}$$

(3)
サイクルの放熱量 $Q_{out}$ は等積冷却過程($4\to 1$)の放熱量であり、

$$Q_{out}=c_v(T_4-T_1)=\frac{P_4{V}_4-P_1{V}_1}{\kappa -1}=\frac{V_1(P_4-P_1)}{\kappa -1}$$
(2)で求めた $P_4$ を用いると、
$$Q_{out}=\frac{V_1}{\kappa -1}\frac{Q(\kappa -1)}{V_1{\epsilon }^{\kappa -1}}=\frac{Q}{{\epsilon }^{\kappa -1}}$$
熱効率 $\eta$ は、
$$\eta =\frac{Q-Q_{out}}{Q}=1-\frac{Q_{out}}{Q}$$

$$\boxed{\eta =1-\frac{1}{{\epsilon }^{\kappa -1}}}$$

(4)
温度上昇に伴い $c_v(T)$ が増加するとき、実効的な比熱比 $\kappa (T)=1+R/c_v(T)$ は減少する。断熱変化における圧力の微分方程式は以下のようになる。

$$\frac{dP}{dV}=-\kappa (T)\frac{P}{V}$$
圧縮過程($1\to 2^{\prime }$)において $T>T_1$ より $\kappa (T)<{\kappa }_{\text{const}}$ となるため、体積減少に対する圧力上昇は緩やかになり、状態2の圧力は低下する（$P_2^{\prime }<P_2$）。等積加熱過程($2^{\prime }\to 3^{\prime }$)において、加熱量 $Q$ は、
$$Q={\int }_{T_2^{\prime }}^{T_3^{\prime }}{c}_v(T)dT$$
と表される。$c_v(T)>c_{v,\text{const}}$ であるため、同じ加熱量 $Q$ に対する温度上昇および圧力上昇 $\Delta P=\frac{R}{V_2}\Delta T$ は比熱一定の場合より小さくなり、状態3の圧力は大幅に低下する（$P_3^{\prime }<P_3$）。結果として、$P$-$V$線図上で状態2および状態3は比熱一定のサイクルの内側（低圧側）へシフトし、膨張曲線も下方に位置するため、サイクル全体が囲む面積（正味の仕事量）は減少する。

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本题综合考查了工程热力学中理想气体的比热容特性以及奥托循环的热力学计算。解答第一问需要运用气体分子运动论的基础知识，理解单原子、双原子和多原子分子的自由度随温度激发的规律，从而判断出比热容和比热比的变化趋势。单原子气体因只有平动自由度，比热不随温度变化；多原子气体因振动自由度容易在较低温度下被激发，其比热随温度升高而显著增大。后续两问是内燃机理论循环的标准计算，依赖于理想气体状态方程以及比热容、气体常数和比热比之间的换算关系式推导各状态点的压力并计算循环热效率。第四问探讨了实际气体比热随温度升高而增大这一特性对循环特性的负面影响。在变比热情况下，由于绝热指数降低，压缩终点的压力和温度都会低于常比热情况；同时在吸热量相同的前提下，由于高温区气体吸收同样热量所产生的温升减小，导致最高燃烧压力显著降低。这使得变比热循环在P-V图上的轨迹完全位于常比热循环轨迹的内侧，从而直观地说明了其输出功和热效率的下降。