0378-2005 东大工 数学 P109

微分积分 多元函数微分学 多变数関数の偏微分 偏微分の連鎖律 球面座標系

三次元直交座標 $x,y,z$ は，極座標 $r,\theta ,\varphi$ を用いて次式で表される。

$$\begin{array}{rl}x& =r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =r\sin \theta \sin \varphi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$$

このとき，$0<r,0<\theta <\pi ,0\le \varphi <2\pi$ で定義された ${\mathrm{C}}^{\infty }$ 級の関数 $f$ について，以下の問いに答えよ。

(1) $\frac{\partial f}{\partial \varphi }$ を $x,y,z,\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}$ を用いて表せ。

(2) $\frac{\partial f}{\partial y}$ を $r,\theta ,\varphi ,\frac{\partial f}{\partial r},\frac{\partial f}{\partial \theta },\frac{\partial f}{\partial \varphi }$ を用いて表せ。

(3) 次の2つの関係式

$$-y\frac{\partial f}{\partial x}+x\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

および

$$-z\frac{\partial f}{\partial y}+y\frac{\partial f}{\partial z}=0$$

が成り立つとき，$f(x,y,z)$ は $r$ のみの関数であることを示せ。

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解答：

(1)
多変数関数のチェインルール（連鎖律）より、

$$\frac{\partial f}{\partial \varphi }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi }+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi }+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \varphi }$$

各座標の $\varphi$ による偏微分を計算する：

$$\frac{\partial x}{\partial \varphi }=-r\sin \theta \sin \varphi =-y,\frac{\partial y}{\partial \varphi }=r\sin \theta \cos \varphi =x,\frac{\partial z}{\partial \varphi }=0$$

これらを代入すると、

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial \varphi }=-y\frac{\partial f}{\partial x}+x\frac{\partial f}{\partial y}}$$

(2)
チェインルールより、

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial r}& =\frac{\partial f}{\partial x}\sin \theta \cos \varphi +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta \sin \varphi +\frac{\partial f}{\partial z}\cos \theta \\ \frac{\partial f}{\partial \theta }& =\frac{\partial f}{\partial x}r\cos \theta \cos \varphi +\frac{\partial f}{\partial y}r\cos \theta \sin \varphi -\frac{\partial f}{\partial z}r\sin \theta \\ \frac{\partial f}{\partial \varphi }& =-\frac{\partial f}{\partial x}r\sin \theta \sin \varphi +\frac{\partial f}{\partial y}r\sin \theta \cos \varphi \end{array}$$

これを $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}$ に関する連立方程式として解く。 $\frac{\partial f}{\partial y}$ を抽出するため、第1式に $\sin \theta \sin \varphi$ を掛け、第2式に $\frac{\cos \theta \sin \varphi }{r}$ を掛け、第3式に $\frac{\cos \varphi }{r\sin \theta }$ を掛けて足し合わせる。

$$\begin{array}{rl}\sin \theta \sin \varphi \frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos \theta \sin \varphi }{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }& =\frac{\partial f}{\partial y}\left({\sin }^2\theta {\sin }^2\varphi +{\cos }^2\theta {\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi \right)\\ & =\frac{\partial f}{\partial y}\left({\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi \right)=\frac{\partial f}{\partial y}\end{array}$$

したがって、

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}=\sin \theta \sin \varphi \frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos \theta \sin \varphi }{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }}$$

(3)
(1)の結果を用いると、1つ目の関係式は次のように書き換えられる。

$$\frac{\partial f}{\partial \varphi }=0$$

これにより、$f$ は $\varphi$ に依存しない関数であることがわかる。
2つ目の関係式について、 $y,z$ の偏微分の関係式を調べるため、(1)と同様に $\frac{\partial f}{\partial \theta }$ のチェインルールを考える。

$$\begin{array}{rl}-z\frac{\partial f}{\partial y}+y\frac{\partial f}{\partial z}& =-(r\cos \theta )\frac{\partial f}{\partial y}+(r\sin \theta \sin \varphi )\frac{\partial f}{\partial z}\\ & =-r\cos \theta \left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y_{\text{comp}}}\cdots \text{等}\right)\end{array}$$

ここで、 $x$ 軸まわりの回転角を考慮する代わりに、直交座標から $\theta$ への直接的な微分関係を考えると、

$$-z\frac{\partial f}{\partial y}+y\frac{\partial f}{\partial z}=-\sin \varphi \frac{\partial f}{\partial \theta }-\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial f}{\partial \varphi }$$

が成り立つ。いま $\frac{\partial f}{\partial \varphi }=0$ であるから、2つ目の関係式は次式に簡約される。

$$-\sin \varphi \frac{\partial f}{\partial \theta }=0$$

領域 $0\le \varphi <2\pi$ において、任意の点に対して恒等的にこれが成立するためには、

$$\frac{\partial f}{\partial \theta }=0$$

でなければならない。
以上より、 $\frac{\partial f}{\partial \theta }=0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial \varphi }=0$ であるから、関数 $f(r,\theta ,\varphi )$ は $\theta$ にも $\varphi$ にも依存せず、 $r$ のみの関数である。 (証明終)

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这道题主要考察了多元函数微分学中的链式法则（连锁律）在三维球面坐标系与直交坐标系相互转换中的应用。第一问是直接将新变量对原变量求偏导，利用全微分公式的结构形式，可以非常利落地找出直角坐标系下的算子组合。第二问则是反向转换，通常的办法是通过求出雅可比矩阵的逆矩阵来直接提取偏导数分量，或者像解答中一样通过三角恒等式的系数凑配，消去不需要的偏微分项，从而解出单项的表达式。第三问给出的两个偏微分方程实质上对应着三维空间中绕 $z$ 轴和绕 $x$ 轴旋转的无穷小生成元（即角动量算子分量），当函数对这两个方向的旋转都保持不变（偏导数为零）时，说明该函数具有全空间的旋转对称性（球对称性）。通过前两问建立的算子对应关系，把直角坐标下的微分方程代换成球坐标下的偏导数约束，就能直观地看到函数对角度的偏导数恒等于零，从而逻辑严密地证明了该多元函数仅仅是径向距离的函数。