0377-2005 东大工 数学 P108

复变函数 共形映射 儒可夫斯基变换 复平面写像

複素関数による $z$ 平面 ($z=x+iy$) から $w$ 平面 ($w=u+iv$) への写像について，以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $w=z^{\ell }$ ($\ell$ は正の実数) によって， $z$ 平面上の領域 $0<\arg z<\theta$ は $w$ 平面上のどのような領域に写像されるか。

(2) $z$ 平面上の領域 $\psi <\arg z<\pi -\psi$ ($0<\psi <\frac{\pi }{2}$) を $w$ 平面の上半面 ($0<\arg w<\pi$) に写像する関数を求めよ。

(3) 関数 $w=z+\frac{1}{z}$ による， $z$ 平面の原点を起点とする半直線の写像を求めよ。また，この関数による写像が $z=1$ で等角でないことを示せ。

(4) $z$ 平面上の領域 $\frac{x^2}{{\cos }^2\psi }-\frac{y^2}{{\sin }^2\psi }<4$ を $w$ 平面の上半面 ($0<\arg w<\pi$) に写像する関数を求めよ。ただし $\psi$ は $0<\psi <\frac{\pi }{2}$ を満たす。

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解答：

(1)
$z=r{e}^{i\varphi }$ ($r>0,0<\varphi <\theta$) とおくと、

$$w=z^{\ell }=r^{\ell }{e}^{i\ell \varphi }$$

よって、$|w|=r^{\ell }>0$ であり、偏角は $0<\arg w<\ell \theta$ となる。

$$\boxed{0<\arg w<\ell \theta }$$

(2)
与えられた領域の開度（偏角の幅）は $(\pi -\psi )-\psi =\pi -2\psi$ である。
まず、領域を全体的に回転させて始線を実軸の正の方向へ合わせるために ${\zeta }_1=z{e}^{-i\psi }$ とする。このとき $0<\arg {\zeta }_1<\pi -2\psi$ となる。
次に、開度を $\pi$ に拡大（または縮小）するために、累乗写像を用いる。

$$w={\zeta }_1^{\frac{\pi }{\pi -2\psi }}={\left(z{e}^{-i\psi }\right)}^{\frac{\pi }{\pi -2\psi }}$$ $$\boxed{w={\left(z{e}^{-i\psi }\right)}^{\frac{\pi }{\pi -2\psi }}}$$

(3)
原点を起点とする半直線は $z=r{e}^{i\alpha }$ ($r>0$, $\alpha$ は一定) と表せる。これを関数に代入すると、

$$w=r{e}^{i\alpha }+\frac{1}{r}{e}^{-i\alpha }=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos \alpha +i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin \alpha$$

$w=u+iv$ とおくと、

$$u=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos \alpha ,v=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin \alpha$$

[1] $\sin \alpha \ne 0$ かつ $\cos \alpha \ne 0$ のとき

$$\frac{u^2}{{\left(r+\frac{1}{r}\right)}^2{\cos }^2\alpha }=1,\frac{v^2}{{\left(r-\frac{1}{r}\right)}^2{\sin }^2\alpha }=1$$

${\left(r+\frac{1}{r}\right)}^2-{\left(r-\frac{1}{r}\right)}^2=4$ を利用して消去すると、

$$\frac{u^2}{4{\cos }^2\alpha }-\frac{v^2}{4{\sin }^2\alpha }=1$$

これは焦点が $(\pm 2,0)$ の双曲線である。
[2] $\sin \alpha =0$ ($\alpha =0,\pi$) のとき
$v=0$ となり、$u=\pm (r+1/r)$ となる。$r>0$ より $r+1/r\ge 2$ なので、実軸上の領域 $|u|\ge 2,v=0$ となる。
[3] $\cos \alpha =0$ ($\alpha =\pi /2,3\pi /2$) のとき
$u=0$ となり、$v=\pm (r-1/r)$ となる。これは虚軸全体 ($u=0$) となる。
したがって、写像は

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \sin 2\alpha \ne 0\text{ のとき：双曲線 }\frac{u^2}{4{\cos }^2\alpha }-\frac{v^2}{4{\sin }^2\alpha }=1\\ & \sin \alpha =0\text{ のとき：実軸上の }|u|\ge 2\\ & \cos \alpha =0\text{ のとき：虚軸全体}\end{array}}$$

後半の証明：
与えられた関数を $z$ で微分すると、

$$\frac{dw}{dz}=1-\frac{1}{z^2}$$

$z=1$ を代入すると ${\frac{dw}{dz}|}_{z=1}=0$ となる。
複素関数が正則であり、かつ導関数が $0$ でない点で写像は等角性を保つ。 $z=1$ では導関数が $0$（臨界点）となるため、等角写像ではない。 (証明終)

(4)
(3)のジュコフスキー写像 $z=\zeta +\frac{1}{\zeta }$ ($\zeta =\rho e^{i\varphi }$) を考える。 $\zeta$ 平面上の半直線 $\varphi =\psi$ の像は、(3)より次の双曲線となる。

$$\frac{x^2}{4{\cos }^2\psi }-\frac{y^2}{4{\sin }^2\psi }=1⟹\frac{x^2}{{\cos }^2\psi }-\frac{y^2}{{\sin }^2\psi }=4$$

条件の領域 $\frac{x^2}{{\cos }^2\psi }-\frac{y^2}{{\sin }^2\psi }<4$ は、この双曲線の内側（実軸の原点を含む側）に対応する。
ジュコフスキー逆変換を考えると、この双曲線で囲まれた領域は $\zeta$ 平面上の扇形領域 $-\psi <\arg \zeta <\psi$（またはその外部）に写像される。
領域を上半面に移すために、まず ${\zeta }_1=\zeta e^{i\psi }$ と回転させて $0<\arg {\zeta }_1<2\psi$ とする。
次に、開度を $\pi$ にするために累乗して ${\zeta }_2={\zeta }_1^{\frac{\pi }{2\psi }}$ とすれば、 $0<\arg {\zeta }_2<\pi$ となり上半面へ写像される。
ここで $z=\zeta +\frac{1}{\zeta }$ より、 ${\zeta }^2-z\zeta +1=0⟹\zeta =\frac{z+\sqrt{z^2-4}}{2}$ である。
これらを合成すると、求める関数 $w$ は次のようになる。

$$\boxed{w={\left(\frac{z+\sqrt{z^2-4}}{2}{e}^{i\psi }\right)}^{\frac{\pi }{2\psi }}}$$

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这道题目是一道非常标准的复变函数几何理论题，主要考察了通过初等复变函数实现复平面区域之间的共形映射。第一问和第二问属于基础的幂函数写像与旋转变换，核心在于抓住偏角的变化规律，通过先旋转缩放始线再调整开口大小，即可将任意扇形区域变成上半平面。第三问考察的是著名的儒可夫斯基变换，通过引入极坐标表示并分离实部虚部，利用双曲恒等式消去消径参数后，便能清晰地看出原点出发的半直线被映射成了双曲线。其关于等角性的证明则直接诉诸于导数是否为零的判定法则，由于在一点处导数为零，该点处的微小角度变化在映射后会被扩大，因而破坏了等角性。第四问则是前几问的综合逆向应用，通过观察已知边界双曲线的特征，联想到它正是儒可夫斯基变换下特定半直线的像，利用其逆变换将复杂的双曲线边界区域拉直回扇形区域，再重复前两问的步骤将其映射到标准上半平面。