軸上に個の点がある。はからの間、はととの間()にあって、これら全ての点は各区間でランダムに運動している。ランダムな運動により、各点は指定された区間で一様に分布する。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) ある瞬間に点がにあったとして、点の位置の確率密度関数を示せ。
(2) ある瞬間に点がにあったとして、の期待値および分散を求めよ。
(3) 次に点がランダムに運動しているとして、の期待値および分散を求めよ。
(4) 点の位置の期待値を求めよ。
解答：
(1)
点は区間上で一様に分布するため、その確率密度関数は以下のようになる。
(2)
(1)より、の条件付き期待値および条件付き分散は、区間の連続一様分布の性質から直ちに求まる。
(3)
点は区間上で一様に分布するため、、である。
全期待値の定理より、の期待値は、
したがって、
また、全分散の定理より、の分散は、
それぞれの項を計算すると、
これらを足し合わせて、
(4)
(2)と同様に、点は区間上で一様に分布するため、条件付き期待値は
両辺の期待値をとると、
式を変形して、
数列は公比の等比数列である。初項はであるため、
したがって、
这道题考察了概率统计中关于均匀分布、条件分布、条件期望以及全期望与全方差公式的综合运用。第一问和第二问要求在已知前一个点位置的条件下，写出当前点的概率密度函数并计算其均值和方差，直接利用连续均匀分布的性质即可得出结论。第三问放开了初始点的固定位置，求绝对的期望和方差，此时可以灵活应用全期望公式和全方差公式将条件期望和条件方差转化为对随机变量期望的求解，从而避免了复杂的二重积分计算。第四问进一步将问题推广到第N个点，考察了期望的线性性质。通过对条件期望等式两边取期望，可以构造出关于期望值的递推数列，最后利用等比数列的通项公式进行求解。这种将概率问题转化为数列递推问题的方法在相关的随机过程分析中十分常见。