0374-2005 东大工 数学 P107

线性代数 常系数线性递推式 特征值与特征向量 矩阵对角化

実数列 $\{x_n\}(n=0,1,2,\cdots )$ は次の漸化式を満たす。

$$x_{n+3}-4a{x}_{n+2}+a^2{x}_{n+1}+6a^3{x}_n=0$$

ここで，$a$は正の実数である。ベクトル ${\mathbf{X}}_n$ を ${\mathbf{X}}_n\equiv \left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n+1}\\ x_{n+2}\end{array}\right](n=0,1,2,\cdots )$
と定義する。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) ${\mathbf{X}}_{n+1}=A{\mathbf{X}}_n$ を満たす行列 $A$ を求めよ。

(2) 行列 $A$ のすべての固有値と，それらに対応する固有ベクトルを求めよ。

(3) $n\to \infty$ のときに，任意の ${\mathbf{X}}_0$ に対して $x_n$ が $0$ に収束すると仮定する。
このとき，$a$ が満たすべき必要十分条件を求めよ。

(4) $n\to \infty$ のときに $x_n$ が $1$ に収束するために，${\mathbf{X}}_0$ と $a$ が満たすべき必要十分条件を求めよ。

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解答：

(1)
与えられた漸化式より、

$$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& =x_{n+1}\\ x_{n+2}& =x_{n+2}\\ x_{n+3}& =-6a^3{x}_n-a^2{x}_{n+1}+4a{x}_{n+2}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -6a^3& -a^2& 4a\end{array}\right]}$$

(2)
特性方程式を解く：

$$\begin{array}{rl}\det (\lambda I-A)& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 0\\ 0& \lambda & -1\\ 6a^3& a^2& \lambda -4a\end{array}\right|\\ & ={\lambda }^3-4a{\lambda }^2+a^2\lambda +6a^3\\ & =(\lambda +a)(\lambda -2a)(\lambda -3a)=0\end{array}$$

$a>0$ より、固有値は $\lambda =-a,2a,3a$ となる。

$(\lambda I-A)\mathbf{v}=0$ より各固有ベクトルを求める：

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{固有値 }-a,\text{ 固有ベクトル }{c}_1\left[\begin{array}{c}1\\ -a\\ a^2\end{array}\right]\\ & \text{固有値 }2a,\text{ 固有ベクトル }{c}_2\left[\begin{array}{c}1\\ 2a\\ 4a^2\end{array}\right]\\ & \text{固有値 }3a,\text{ 固有ベクトル }{c}_3\left[\begin{array}{c}1\\ 3a\\ 9a^2\end{array}\right](c_1,c_2,c_3\text{ は }0\text{ でない任意の定数})\end{array}}$$

(3)
(2)より一般解は定数 $C_1,C_2,C_3$ を用いて次のように表される：

$$x_n=C_1(-a{)}^n+C_2(2a{)}^n+C_3(3a{)}^n$$

任意の ${\mathbf{X}}_0$ に対して $x_n\to 0(n\to \infty )$ となる条件は、すべての固有値の絶対値が $1$ より小さいことである。

$$|-a|<1\text{ かつ }|2a|<1\text{ かつ }|3a|<1$$

$a>0$ であるから、$3a<1$ を満たせば十分であり、

$$\boxed{0<a<\frac{1}{3}}$$

(4)
$x_n\to 1(n\to \infty )$ となるには、絶対値が $1$ 以上の公比を持つ項の係数が $0$ であり、かつ極限値が $1$ となる必要がある。$a>0$ より公比が $1$ となり得るのは以下の2つの場合である。

[1] $3a=1⟺a=1/3$ のとき
固有値は $-1/3,2/3,1$

$$x_n=C_1{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n+C_2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+C_3(1{)}^n$$

$x_n\to 1$ となる条件は $C_3=1$ である。
${\mathbf{X}}_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\end{array}\right]$ に対して連立方程式を解き $C_3$ を求めると、

$$C_3=\frac{-2x_0-3x_1+9x_2}{4}=1$$

[2] $2a=1⟺a=1/2$ のとき
固有値は $-1/2,1,3/2$

$$x_n=C_1{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+C_2(1{)}^n+C_3{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$$

$x_n\to 1$ となる条件は $C_3=0$ かつ $C_2=1$ である。
${\mathbf{X}}_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\end{array}\right]$ に対して連立方程式を解き $C_2,C_3$ を求めると、

$$\begin{array}{rl}{C}_3& =x_2-\frac{1}{2}{x}_1-\frac{1}{2}{x}_0=0\\ C_2& =x_0+\frac{4}{3}{x}_1-\frac{4}{3}{x}_2=1\end{array}$$

以上より、求める必要十分条件は、

$$\boxed{\begin{array}{rl}& a=\frac{1}{3}\text{ かつ }-2x_0-3x_1+9x_2=4\\ & \text{または}\\ & a=\frac{1}{2}\text{ かつ }{x}_0+x_1-2x_2=0\text{ かつ }3x_0+4x_1-4x_2=3\end{array}}$$

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这道题主要考察了矩阵对角化在常系数线性递推数列中的应用。通过引入状态向量，将高阶的递推关系转化为一阶的矩阵乘法形式，这是处理此类问题的标准方法。在求解矩阵的特征值时，可以直接构造特征多项式并寻找规律进行因式分解，通常试探包含参数的简单因子即可快速找到三个不同的特征值。得到了特征值和特征向量后，数列的通项就可以表示为特征向量的线性组合。对于数列极限的讨论，核心在于分析各个特征值的绝对值。要想对任意初始状态都收敛于零，必须要求所有特征值的绝对值严格小于一；而如果要求收敛到非零常数一，则必须存在一个特征值为一，其余绝对值大于或等于一的特征值对应的系数必须为零，且特征值为一所对应的系数必须恰好为一。在反解系数时，利用克莱姆法则或者范德蒙德行列式的性质求解线性方程组，可以准确得到初始条件向量分量所需满足的线性关系。