図のフィードバック制御系の安定性を根軌跡を使って調べたい．下記の設問に答えよ．
なお とする．
(1) のときの特性方程式の根を求めよ．
(2) のときの特性方程式の根を求めよ．
(3) のとき，発散する根があれば，その根の軌跡の漸近線が実軸と交わる角度および座標を求めよ．
(4) 根軌跡を描け．
(5) この系が安定になる の範囲を求めよ．
解答：
閉ループ伝達関数の特性方程式は：
(1)
のとき，根は開ループ極に一致する．
(2)
のとき，根は開ループ零点および無限遠に向かう．
(3)
開ループ極の数 ，開ループ零点の数 ．
漸近線の実軸との交点 は：
漸近線の角度 は：
(4)
根軌跡の描画に代わり，軌跡を決定づける主要な数学的特徴を示す：
特性方程式に を代入して虚軸との交点を求める．
実部と虚部をそれぞれ とすると（）：
(5)
特性方程式を展開する：
ラウスの配列を作成する：
安定条件は第1列がすべて正であること：
本题考查了控制系统中的根轨迹法与系统稳定性分析。第一问和第二问分别涉及开环增益趋于零和无穷大时闭环极点的渐近行为，增益为零时闭环极点即为开环极点，增益无穷大时闭环极点趋向于开环零点或无穷远处。第三问求解了根轨迹的渐近线，利用渐近线与实轴的交点坐标公式（开环极点之和减分开环零点之和除以极零点数之差）以及倾角公式可以直接计算出结果。第四问要求绘制根轨迹，这里需要综合开环零极点分布、实轴上的根轨迹区间、渐近线以及与虚轴的交点来定性描绘，其中与虚轴的交点可以通过令拉普拉斯算子等于纯虚数代入特征方程，分离实部和虚部求解得到，这对于确定轨迹走向和系统临界稳定状态至关重要。最后第五问通常利用劳斯稳定判据，依据特征方程列出劳斯表，令第一列所有元素大于零，即可解出系统稳定时对应增益的取值范围，该代数解法得到的结果与前面根轨迹穿过虚轴进入右半平面的临界增益计算结果是完全一致的。